Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2+3x與x軸交于O、A兩點(diǎn)，與直線y＝x交于O、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（3，0）、（2，2）．點(diǎn)P在拋物線上，且不與點(diǎn)O、B重合，過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線交射線OB于點(diǎn)Q，以PQ為邊作R△PQN，點(diǎn)N與點(diǎn)B始終在PQ同側(cè)，且PN＝1．設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m（m＞0），PQ長(zhǎng)度為d．

（1）用含m的代數(shù)式表示點(diǎn)P的坐標(biāo)．

（2）求d與m之間的函數(shù)關(guān)系式．

（3）當(dāng)△PQN是等腰直角三角形時(shí)，求m的值．

（4）直接寫(xiě)出△PQN的邊與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）P（m，﹣m2+3m）；（2）①當(dāng)0＜m＜2時(shí)，d＝﹣m2+2m，②當(dāng)m＞2時(shí)，d＝m2﹣2m；（3）①當(dāng)0＜m＜2時(shí)，m1＝m2＝1．②當(dāng)m＞2時(shí)，m1＝1+，m2＝1﹣（舍）；（4）m＝1或m＞2．

【解析】

（1）把把x＝m代入y＝﹣x2+3x即可；

（2）分類(lèi)用兩點(diǎn)縱坐標(biāo)之差即可表示；

（3）由△PQN是等腰直角三角形得出PQ＝PN＝1，列方程求解即可；

（4）把點(diǎn)P在OB上側(cè)和下側(cè)分類(lèi)研究即可；

（1）把x＝m代入y＝﹣x2+3x，y＝﹣m2+3m

∴P（m，﹣m2+3m）

（2）①當(dāng)0＜m＜2時(shí)，

d＝﹣m2+3m﹣m＝﹣m2+2m，

②當(dāng)m＞2時(shí)，

d＝m﹣（﹣m2+3m）＝m2﹣2m

（3）當(dāng)△PQN是等腰直角三角形，

∴PQ＝PN＝1，

①當(dāng)0＜m＜2時(shí)，

﹣m2+2m＝1，

解得m1＝m2＝1．

②當(dāng)m＞2時(shí)，

m2﹣2m＝1，

解得m1＝1+，m2＝1﹣（舍）

（4）m＝1或m＞2．

當(dāng)點(diǎn)P在OB上側(cè)時(shí)，當(dāng)△PQN是直角三角形，PN平行于x軸，所以P和N關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸x＝對(duì)稱(chēng)，又因?yàn)?/span>PN＝1，所以m＝1；

當(dāng)點(diǎn)P在OB下方時(shí)，因?yàn)辄c(diǎn)N與點(diǎn)B始終在PQ左側(cè)，所以這時(shí)△PQN的邊與拋物線始終有兩個(gè)交點(diǎn)，所以m＞2．

所以m＝1或m＞2．