Question

14．已知$\frac{1}{3}$=0.$\stackrel{•}{3}$，即$\frac{1}{3}$=0.3+0.03+0.003+…，等式兩邊同乘3，則有1=0.9+0.09+0.009+…，也即1=0.$\stackrel{•}{9}$，借鑒上述操作，若有$\frac{{π}^{2}}{6}$=$\frac{1}{{1}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{4}^{2}}$+…，那么$\frac{1}{{1}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{5}^{2}}$+$\frac{1}{{7}^{2}}$+…=$\frac{{π}^{2}}{8}$．

Answer 1

分析 根據(jù)給定操作可知，左右兩邊同時乘以某一個數(shù)，等號扔成立，在$\frac{{π}^{2}}{6}$=$\frac{1}{{1}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{4}^{2}}$+…的左右兩邊同時乘以$\frac{1}{{2}^{2}}$等號仍成立，展開后會發(fā)現(xiàn)等號右邊為$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{4}^{2}}$+$\frac{1}{{6}^{2}}$+$\frac{1}{{8}^{2}}$+…，在$\frac{{π}^{2}}{6}$=$\frac{1}{{1}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{4}^{2}}$+…中減去$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{4}^{2}}$+$\frac{1}{{6}^{2}}$+$\frac{1}{{8}^{2}}$+…即是所求．

解答 解：∵$\frac{{π}^{2}}{6}$=$\frac{1}{{1}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{4}^{2}}$+…，
∴$\frac{1}{{2}^{2}}$×$\frac{{π}^{2}}{6}$=$\frac{1}{{2}^{2}×{1}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{2}×{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{2}×{3}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{2}×{4}^{2}}$+…=$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{4}^{2}}$+$\frac{1}{{6}^{2}}$+$\frac{1}{{8}^{2}}$+…，
$\frac{1}{{1}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{5}^{2}}$+$\frac{1}{{7}^{2}}$+…=$\frac{1}{{1}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{4}^{2}}$+…-$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{4}^{2}}$+$\frac{1}{{6}^{2}}$+$\frac{1}{{8}^{2}}$+…=$\frac{{π}^{2}}{6}$-$\frac{1}{{2}^{2}}$×$\frac{{π}^{2}}{6}$=$\frac{{π}^{2}}{8}$．
故答案為：$\frac{{π}^{2}}{8}$．

點評 本題考查了數(shù)字的變化類，解題的關(guān)鍵是：依照例題找出$\frac{1}{{2}^{2}}$×$\frac{{π}^{2}}{6}$=$\frac{1}{{2}^{2}×{1}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{2}×{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{2}×{3}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{2}×{4}^{2}}$+…=$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{4}^{2}}$+$\frac{1}{{6}^{2}}$+$\frac{1}{{8}^{2}}$+…．