Question

【題目】關于的方程：①和關于的一元二次方程：②(、、均為實數(shù))，方程①的解為非正數(shù).

(1)求的取值范圍.

(2)如果方程②的解為負整數(shù)，，且為整數(shù)，求整數(shù)的值.

(3)當方程②有兩個實數(shù)根、，滿足，且為正整數(shù)，試判斷是否成立？請說明理由.

Answer 1

【答案】(1)且；(2)或；(3)成立，理由見解析.

【解析】

（1）解方程①得到x含k的解，根據(jù)題意得到k的不等式求解得到k≤2，當k=1時，不滿足為一元二次方程，即k≠1，同時滿足即為k的取值范圍；

（2）將m，n含有k的值代入原方程變形得，利用韋達定理得到關于k的式子，根據(jù)題意求出符合題意的整數(shù)k，進而求得答案；

（3）由（1）中k的范圍得到k=2，代入原方程得到，則x1+x2=﹣2m，代入式子整理得到n=2m2﹣5，根據(jù)一元二次方程根的判別式得到關于m的不等式即可.

解：（1）解方程①，

2x﹣2k=x﹣4，

∴x=2k﹣4，

∵方程①的解為非正數(shù)，

∴2k﹣4≤0，

∴k≤2，

當k=1時，k﹣1=0，不滿足為一元二次方程，

∴且；

（2）∵，，

∴m=k﹣2，n=2k﹣6，

把m=k﹣2，n=2k﹣6代入方程②得：

，

∵△，

∴x1+x2=，x1·x2=，

∵方程②的解為負數(shù)，

∴，，

解得k＞3或k＜1，

∵k≤2，

∴k＜1，

∵方程②的解為整數(shù)，

∴，為整數(shù)，

解得k=0或﹣1，

∴m=﹣2或﹣3；

（3）成立，理由如下：

由（1）得且，

∵k為正整數(shù)，

∴k=2，

∴方程②為，

∴x1+x2=﹣2m，

∵，

∴，

∴2m2=n+5，即n=2m2﹣5，

∵方程②有兩個實數(shù)根，

∴△=4m2-4（n+1）=4m2﹣4（2m2﹣4）≥0，

整理得m2≤4，

∴.