Question

（2011•臨川區(qū)模擬）如圖，點(diǎn)B在y軸上，BA∥x軸，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（5.5，4），⊙A的半徑為2．現(xiàn)有點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿射線BA運(yùn)動(dòng)．
（1）當(dāng)點(diǎn)P在⊙A上時(shí)，請(qǐng)直接寫出它的坐標(biāo)；
（2）設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，連接OP，試探究射線OP與⊙A的位置關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)圓的半徑和點(diǎn)A的坐標(biāo)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)即可；
（2）過點(diǎn)O作圓A的切線OM，切點(diǎn)為M，連接AM，則AM⊥OM，利用相似三角形的性質(zhì)求得圓心與直線的距離，然后根據(jù)圓心到直線的距離判斷點(diǎn)與直線的關(guān)系即可．

解答：解：（1）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3.5，4）或（7.5，4）；

（2）過點(diǎn)O作圓A的切線OM，切點(diǎn)為M，連接AM，則AM⊥OM，
由題意可知：OM與BA的交點(diǎn)為P，BP=x，
當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A的左側(cè)時(shí)，x＜5.5
點(diǎn)A的坐標(biāo)為（5.5，4），
AP=5.5-x，OB=4，
圓A的半徑為2，
∴AM=2，BA∥x軸，
∴∠OBP=90°，
∴∠AMP=∠OBP
∠APM=∠OPB，
∴△OBP∽△AMP，

OP

AP

=

OB

AM

∴

OP

5.5-x

=

2

4

得OP=11-2x，Rt△OBP中，（11-2x）²=4²+x²，
解得：x=3或x=

35

3

（舍去）
當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A的右側(cè)時(shí)，x＞5.5，
同理可解得x=3（舍去）或x=

35

3

，
∴當(dāng)x=3或

35

3

時(shí)，直線OP與圓A相切；
當(dāng)0＜x＜3或x＞

35

3

時(shí)相離；
當(dāng)3＜x＜

35

3

直線與圓相交．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了切線的判定，通過作輔助線轉(zhuǎn)化為解直角三角形是解題的關(guān)鍵．