Question

15．如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，點D在邊AC上，AB=CD，點M、N分別為AD、BC的中點，連接MN、AN，MN=3$\sqrt{2}$，AD=4，則線段AN的長為$\sqrt{34}$．

Answer 1

分析 首先延長CA到H，使AH=DC，連接BH，利用三角形中位線定理得出HB的長，再利用銳角三角函數(shù)關系得出AB，AH的長，進而利用勾股定理得出BC的長，進而得出答案．

解答 解：延長CA到H，使AH=DC，連接BH，
∵M為AD的中點，N為BC中點，
∴HB=2MN=6$\sqrt{2}$，
又∵AB=DC，
∴AB=AH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$HB=6，
∴AC=AD+DC=4+6=10，
在Rt△ABC中，BC=$\sqrt{A{B}^{2}+A{C}^{2}}$=2$\sqrt{34}$，
∴AN=$\frac{1}{2}$BC=$\sqrt{34}$．
故答案為：$\sqrt{34}$．

點評 此題主要考查了三角形中位線定理以及勾股定理、銳角三角函數(shù)關系等知識，正確作出輔助線求出AB的長是解題關鍵．