Question

2．如圖，拋物線y=x²+bx+c與x軸交于A（-1，0），B（3，0）兩點．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）用配方法求該拋物線的對稱軸以及頂點D坐標；
（3）在拋物線的對稱軸上是否存在一動點P，使得△ACP的周長最�。咳鬚點存在，求出P點坐標；若P點不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）把點A、B的坐標分別代入函數解析式，列出關于系數b、c的方程組，通過解方程組求得它們的值即可；
（2）利用配方法將（1）中的方程轉化為頂點式，即可得到答案；
（3）由于A、B關于拋物線的對稱軸對稱，所以直線BC與拋物線對稱軸的交點即為符合題意的P點，因此聯(lián)立直線BC的解析式與拋物線對稱軸方程即可得解．

解答 解：（1）把A（-1，0），B（3，0）代入y=x²+bx+c，得
$\left\{\begin{array}{l}{0=1-b+c}\\{0=9+3b+c}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=-3}\end{array}\right.$．
則該拋物線的解析式為：y=x²-2x-3；

（2）由（1）知該拋物線的解析式為：y=x²-2x-3，
則y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
所以該拋物線的對稱軸是x=1，頂點D坐標為（1，-4）．

（3）在拋物線的對稱軸上存在一動點P，使得△ACP的周長最�。�
∵點A、B關于對稱軸對稱，
∴連接BC交x=1于點P，即為所求的點．
設直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0），
把B（3，0），C（0，-3）代入，得
$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-3}\end{array}\right.$．
則直線BC的解析式為y=x-3，
把x=1代入，得
y=1-3=-2，
所以點P的坐標是（1，-2）．

點評 本題考查了二次函數解析式的確定、軸對稱圖形的性質；（3）題中，充分理解軸對稱圖形的性質以及兩點之間線段最短是解答題目的關鍵，該類型題在二次函數綜合題中經常出現(xiàn)，需要牢固掌握．