Question

3．如圖，正方形ABCD中，AB=6，點E在邊CD上，且CD=3DE，將△ADE沿AE對折至△AFE，延長EF交邊BC于點G，連結(jié)AG、CF．下列結(jié)論：
①△ABG≌△AFG：②BG=GC；③AG∥CF；④∠GAE=45°．
則正確結(jié)論的個數(shù)有（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 根據(jù)正方形的性質(zhì)得出AB=AD=DC=6，∠B=D=90°，求出DE=2，AF=AB，根據(jù)HL推出Rt△ABG≌Rt△AFG，推出BG=FG，∠AGB=∠AGF，設(shè)BG=x，則CG=BC-BG=6-x，GE=GF+EF=BG+DE=x+2，在Rt△ECG中，由勾股定理得出（6-x）²+4²=（x+2）²，求出x=3，得出BG=GF=CG，求出∠AGB=∠FCG，推出AG∥CF，根據(jù)全等得出∠DAE=∠FAE，∠BAG=∠FAG．

解答 解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD=DC=6，∠B=D=90°，
∵CD=3DE，
∴DE=2，
∵△ADE沿AE折疊得到△AFE，
∴DE=EF=2，AD=AF，∠D=∠AFE=∠AFG=90°，
∴AF=AB，
∵在Rt△ABG和Rt△AFG中$\left\{\begin{array}{l}{AG=AG}\\{AB=AF}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL）．
∴①正確；
∵Rt△ABG≌Rt△AFG，
∴BG=FG，∠AGB=∠AGF．
設(shè)BG=x，則CG=BC-BG=6-x，GE=GF+EF=BG+DE=x+2．在Rt△ECG中，由勾股定理得：CG²+CE²=EG²．
∵CG=6-x，CE=4，EG=x+2，
∴（6-x）²+4²=（x+2）²，解得：x=3．
∴BG=GF=CG=3．
∴②正確；
∵CG=GF，
∴∠CFG=∠FCG．
∵∠BGF=∠CFG+∠FCG，∠BGF=∠AGB+∠AGF，
∴∠CFG+∠FCG=∠AGB+∠AGF．
∵∠AGB=∠AGF，∠CFG=∠FCG，
∴∠AGB=∠FCG．
∴AG∥CF．
∴③正確；
∵△ADE沿AE折疊得到△AFE，
∴△DAE≌△FAE．
∴∠DAE=∠FAE．
∵△ABG≌△AFG，
∴∠BAG=∠FAG．
∵∠BAD=90°，
∴∠EAG=∠EAF+∠GAF=$\frac{1}{2}$×90°=45°．
∴④正確．
故選：D．

點評 本題考查了正方形性質(zhì)，折疊性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)和判定，平行線的判定等知識點的運用，依據(jù)翻折的性質(zhì)找出其中對應(yīng)相等的線段和對應(yīng)相等的角是解題的關(guān)鍵．