Question

19．如圖，已知⊙O的直徑AB=12，E、F為AB的三等分點(diǎn)，M、N為$\widehat{AB}$上兩點(diǎn)，且∠MEB=∠NFB=60°，則EM+FN=（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{33}}{2}$
• B． $\sqrt{33}$
• C． 2$\sqrt{33}$
• D． 33

Answer 1

分析 延長(zhǎng)ME，交⊙O于點(diǎn)G，連接MO，過(guò)點(diǎn)O作OH⊥MG于點(diǎn)H．由AE=EF=FB，EG∥NF可知EG=NF，由⊙O的直徑AB=12可以得知OE=2，在Rt△EHO中由特殊角的三角函數(shù)值可求出OH的長(zhǎng)度，再由垂徑定理可知MH=$\frac{1}{2}$MG，在Rt△MHO中由勾股定理得出MH的值，從而得出MG的值，由MG=ME+EG=EM+FN可得知結(jié)論．

解答 解：延長(zhǎng)ME，交⊙O于點(diǎn)G，連接MO，過(guò)點(diǎn)O作OH⊥MG于點(diǎn)H，如圖所示．

∵AE=FE=FB，EG∥NF，OA=OB，
∴根據(jù)圓的對(duì)稱(chēng)性可得：EG=NF，
∴MG=ME+NF．
∵⊙O的直徑AB=12，E、F為AB的三等分點(diǎn)，
∴AE=EF=FB=4，AO=OB=OM=6，
∴OE=2．
又∵∠∠MEB=∠NFB=60°，
∴OH=OE•sin∠HEO=$\sqrt{3}$．
∵OM=6，
∴MH=$\sqrt{O{M}^{2}-O{H}^{2}}$=$\sqrt{33}$，
∴MG=2MH=2$\sqrt{33}$．
即EM+FN=2$\sqrt{33}$．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了特殊角的三角函數(shù)值、勾股定理以及垂徑定理，解題的關(guān)鍵是找出MG=EM+FN，由勾股定理求出$\frac{1}{2}$MG的長(zhǎng)度．本題屬于中檔題，有點(diǎn)難度，很多學(xué)生不知道如何去著手，在解決該類(lèi)題型時(shí)，可以利用圓的對(duì)稱(chēng)性尋找相等的量，以達(dá)到整體替換的效果．