Question

（2013•貴港一模）已知：m、n是方程x²-6x+5=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且m＜n，拋物線y=-x²+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（m，0）、B（0，n）．
（1）求這個(gè)拋物線的解析式；
（2）設(shè)（1）中拋物線與x軸的另一交點(diǎn)為C，拋物線的頂點(diǎn)為D，試求出點(diǎn)C、D的坐標(biāo)和△BCD的面積；（注：拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-

b

2a

，

4ac-b2

4a

)
（3）P是線段OC上的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PH⊥x軸，與拋物線交于H點(diǎn)，若直線BC把△PCH分成面積之比為2：3的兩部分，請(qǐng)求出P點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）通過解方程即可求出m、n的值，那么A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)就可求出．然后根據(jù)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)即可求出拋物線的解析式．
（2）根據(jù)（1）得出的拋物線的解析式即可求出C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)．由于△BCD的面積無法直接求出，可用其他圖形的面積的“和，差關(guān)系”來求出．過D作DM⊥x軸于M，那么△BCD的面積=梯形DMOB的面積+△DCM的面積-△BOC的面積．由此可求出△BCD的面積．
（3）由于△PCH被直線BC分成的兩個(gè)小三角形等高，因此面積比就等于底邊的比．如果設(shè)PH與BC的交點(diǎn)為E，那么EH就是拋物線與直線BC的函數(shù)值的差，而EP就是E點(diǎn)的縱坐標(biāo)．然后可根據(jù)直線BC的解析式設(shè)出E點(diǎn)的坐標(biāo)，然后表示出EH，EP的長．進(jìn)而可分兩種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)EH=

3

2

EP時(shí)；②當(dāng)EH=

2

3

EP時(shí)．由此可得出兩個(gè)不同的關(guān)于E點(diǎn)橫坐標(biāo)的方程即可求出E點(diǎn)的坐標(biāo)．也就求出了P點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：（1）解方程x²-6x+5=0，
（x-1）（x-5）=0，
得x₁=5，x₂=1
由m＜n，有m=1，n=5
所以點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為A（1，0），B（0，5）．
將A（1，0），B（0，5）的坐標(biāo)分別代入y=-x²+bx+c．
得

-1+b+c=0 c=5

，
解這個(gè)方程組，得：

b=-4 c=5

所以，拋物線的解析式為y=-x²-4x+5

（2）由y=-x²-4x+5，令y=0，得-x²-4x+5=0，
解這個(gè)方程，得x₁=-5，x₂=1，
所以C點(diǎn)的坐標(biāo)為（-5，0）．由頂點(diǎn)坐標(biāo)公式計(jì)算，得點(diǎn)D（-2，9）．
過D作x軸的垂線交x軸于M．
則S_△DMC=

1

2

×9×（5-2）=

27

2

S_梯形MDBO=

1

2

×2×（9+5）=14，
S_△BOC=

1

2

×5×5=

25

2

，
所以，S_△BCD=S_梯形MDBO+S_△DMC-S_△BOC=14+

27

2

-

25

2

=15．

（3）設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（a，0）
因?yàn)榫�段BC過B、C兩點(diǎn)，
所以BC所在的直線方程為y=x+5．
那么，PH與直線BC的交點(diǎn)坐標(biāo)為E（a，a+5），
PH與拋物線y=-x²-4x+5的交點(diǎn)坐標(biāo)為H（a，-a²-4a+5）．
由題意，得①EH=

3

2

EP，
即（-a²-4a+5）-（a+5）=

3

2

（a+5）
解這個(gè)方程，得a=-

3

2

或a=-5（舍去）
②EH=

2

3

EP，即（-a²-4a+5）-（a+5）=

2

3

（a+5）
解這個(gè)方程，得a=-

2

3

或a=-5（舍去），
P點(diǎn)的坐標(biāo)為（-

3

2

，0）或（-

2

3

，0）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了一元二次方程的解法，二次函數(shù)解析式的確定、圖形的面積求法、函數(shù)圖象交點(diǎn)等知識(shí)及綜合應(yīng)用知識(shí)、解決問題的能力．利用函數(shù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)為兩函數(shù)解析式組成的方程組的解以及不規(guī)則圖形的面積通常轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積的和差．