【題目】正方形ABCD中,將一個直角三角板的直角頂點與點A重合,一條直角邊與邊BC交于點E(點E不與點B和點C重合),另一條直角邊與邊CD的延長線交于點F.
(1)如圖①,求證:AE=AF;
(2)如圖②,此直角三角板有一個角是45°,它的斜邊MN與邊CD交于G,且點G是斜邊MN的中點,連接EG,求證:EG=BE+DG;
(3)在(2)的條件下,如果 = ,那么點G是否一定是邊CD的中點?請說明你的理由.

【答案】
(1)解:如圖①,∵四邊形ABCD是正方形,

∴∠B=∠BAD=∠ADC=∠C=90°,AB=AD.

∵∠EAF=90°,

∴∠EAF=∠BAD,

∴∠EAF﹣∠EAD=∠BAD﹣∠EAD,

∴∠BAE=∠DAF.

在△ABE和△ADF中

,

∴△ABE≌△ADF(ASA)

∴AE=AF


(2)解:如圖②,連接AG,

∵∠MAN=90°,∠M=45°,

∴∠N=∠M=45°,

∴AM=AN.

∵點G是斜邊MN的中點,

∴∠EAG=∠NAG=45°.

∴∠EAB+∠DAG=45°.

∵△ABE≌△ADF,

∴∠BAE=∠DAF,AE=AF,

∴∠DAF+∠DAG=45°,

即∠GAF=45°,

∴∠EAG=∠FAG.

在△AGE和AGF中,

,

∴△AGE≌AGF(SAS),

∴EG=GF.

∵GF=GD+DF,

∴GF=GD+BE,

∴EG=BE+DG


(3)解:G不一定是邊CD的中點.

理由:設(shè)AB=6k,GF=5k,BE=x,

∴CE=6k﹣x,EG=5k,CF=CD+DF=6k+x,

∴CG=CF﹣GF=k+x,

在Rt△ECG中,由勾股定理,得

(6k﹣x)2+(k+x)2=(5k)2,

解得:x1=2k,x2=3k,

∴CG=4k或3k.

∴點G不一定是邊CD的中點.


【解析】(1)由正方形的性質(zhì)可以得出∠B=∠BAD=∠ADC=∠C=90°,AB=AD,由直角三角形的性質(zhì)∠EAF=∠BAD=90°,就可以得出∠BAE=∠DAF,證明△ABE≌△ADF就可以得出結(jié)論;(2)如圖2,連結(jié)AG,由且點G是斜邊MN的中點,△AMN是等腰直角三角形,就可以得出∠EAG=∠NAG=45°,就有∠EAB+∠DAG=45°,由△ABE≌△ADF可以得出∠BAE=∠DAF,AE=AF就可以得出△AGE≌AGF,從而得出結(jié)論;(3)設(shè)AB=6k,GF=5k,BE=x,就可以得出CE=6k﹣x,EG=5k,CF=CD+DF=6k+x,就有CG=CF﹣GF=k+x,由勾股定理就可以x的值而得出結(jié)論.
【考點精析】掌握正方形的性質(zhì)是解答本題的根本,需要知道正方形四個角都是直角,四條邊都相等;正方形的兩條對角線相等,并且互相垂直平分,每條對角線平分一組對角;正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形;正方形的對角線與邊的夾角是45o;正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形.

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