Question

7．如圖，已知點(diǎn)O為平面直角坐標(biāo)系中的原點(diǎn)，點(diǎn)A在y軸正半軸上，點(diǎn)B在x軸正半軸上，OA=OB，線段AB和反比例函數(shù)y=$\frac{1}{x}$有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，分別是點(diǎn)C和點(diǎn)D，當(dāng)$\frac{1}{4}$≤AC≤1時(shí)．線段CD的取值范圍是1≤CD≤$\frac{31}{4}$．

Answer 1

分析 作CE⊥y軸于E，根據(jù)題意易得△AOB和△AEC是等腰直角三角形，解直角三角形可全等C、D的坐標(biāo)，然后根據(jù)勾股定理即可求得CD，從而求得取值范圍．

解答 解：作CE⊥y軸于E，
∵OA=OB，
∴△AOB和△AEC是等腰直角三角形，
當(dāng)AC=$\frac{1}{4}$時(shí)，CE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\frac{1}{4}$=$\frac{\sqrt{2}}{8}$，
∴C（$\frac{\sqrt{2}}{8}$，4$\sqrt{2}$），
∴D（4$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{8}$），
∴CD=$\sqrt{2（4\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{8}）^{2}}$=$\frac{31}{4}$，
當(dāng)AC=1時(shí)，CE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴C（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{2}$），
∴D（$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
∴CD=$\sqrt{2（\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}$=1，
∴CD的取值范圍是1≤CD≤$\frac{31}{4}$．
故答案為1≤CD≤$\frac{31}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)，等腰直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用，求得C、D的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．