Question

2．如圖，正方形ABCD的邊長為4，AE=EB，MN=2，線段MN的兩端在CB、CD上滑動，當(dāng)CM=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$或$\frac{\sqrt{5}}{5}$時，△ADE與△CMN相似．

Answer 1

分析 根據(jù)AE=EB，△AED中AD=2AE，所以在△MNC中，分CM與AE和AD是對應(yīng)邊兩種情況利用相似三角形對應(yīng)邊成比例求出CM與CN的關(guān)系，然后利用勾股定理列式計算即可．

解答 解：∵AE=EB，
∴AD=2AE，
又∵△AED與以M、N、C為頂點(diǎn)的三角形相似，
∴分兩種情況：
①CM與AD是對應(yīng)邊時，CM=2CN，
∴CM²+CN²=MN²=4，
即CM²+$\frac{1}{4}$CM²=1，
解得：CM=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$；
②CM與AE是對應(yīng)邊時，CM=$\frac{1}{2}$CN，
∴CM²+CN²=MN²=1，
即CM²+4CM²=1，
解得：CM=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
綜上所述：當(dāng)CM為$\frac{2\sqrt{5}}{5}$或$\frac{\sqrt{5}}{5}$時，△AED與△CMN相似．
故答案是：$\frac{2\sqrt{5}}{5}$或$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查了正方形的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定；主要利用相似三角形對應(yīng)邊成比例的性質(zhì)和直角三角形勾股定理求解．