Question

如圖，設(shè)⊙O的半徑為8，過(guò)圓外一點(diǎn)P引切線PA，切點(diǎn)為A，PA=6，C為圓周上一動(dòng)點(diǎn)，PC交圓于另一點(diǎn)B，設(shè)PC=x，PB=y，且x＞y．
（1）試求：y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并求出自變量x的取值范圍；
（2）若cos∠OPC=

4

5

時(shí)，求x的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)，得出PA²=PB•PC，即可代入求出，再根據(jù)PA≤x≤PE，求出PE即可；
（2）首先利用已知條件，運(yùn)用銳角三角函數(shù)求出PF，再利用勾股定理求出FO，F(xiàn)C，進(jìn)而求出PC的長(zhǎng)．

解答：解：（1）連接AO，
∵PA是⊙O的切線，切點(diǎn)為A，PBC是⊙O的割線，
∴PA²=PB•PC，
∵PA=6，PC=x，PB=y，
∴36=xy，
整理得：y=

36

x

∵切線PA=6，PBC是⊙O的割線，
∴PA≤PC≤PE，
即PA≤x≤PE，
∴x≥6，
∵⊙O的半徑為8，∴AO=8，
∵PA=6，
∴PO=

82+62

=10；
∴PE=10+8=18，
∴6≤x≤18；

（2）過(guò)點(diǎn)O，作OF⊥PC于一點(diǎn)F，連接CO，
∵cos∠OPC=

4

5

，
∴cos∠OPC=

PF

PO

=

4

5

，
∵PO=10，
∴

PF

10

=

4

5

，
∴PF=8，
在Rt△PFO中，
∴FO=

PO2-PF2

=

102-82

=6，
∵CO=8，F(xiàn)O=6，
∴CF=

82-62

=2

7

，
∴PC=x=PF+CF=8+2

7

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了切割線定理以及銳角三角函數(shù)和勾股定理的應(yīng)用等知識(shí)，此題用到常用輔助線過(guò)圓心連接切點(diǎn)以及過(guò)圓心向弦作垂線等，基本思路都是構(gòu)建直角三角形，利用勾股定理求出．