Question

如圖在△ABC中，D是BC邊上的中點，且AD=AC，DE⊥BC，DE與AB相交于點E，EC與AD相交于點F．BC=10，S_△FCD=5．
（1）求證：△ABC∽△FCD；
（2）求S_△ABC；
（3）求ED的長．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）證明∠B=∠ECD；證明∠ADC=∠ACD，即可解決問題．
（2）設(shè)△FDC、△ABC的面積分別為λ、μ．由△ABC∽△FCD，得到

λ

μ

=(

DC

BC

)2，結(jié)合BC=2DC，λ=5，求出μ即可解決問題．
（3）直接運用三角形的面積公式即可解決問題．

解答：解：（1）∵BD=CD，DE⊥BC，
∴BE=CE，∠B=∠ECD；
∵AD=AC，
∴∠ADC=∠ACD，
∴△ABC∽△FCD．
（2）設(shè)△FDC、△ABC的面積分別為λ、μ．
∵△ABC∽△FCD，
∴

λ

μ

=(

DC

BC

)2，而BC=2DC，λ=5，
∴μ=20，即S_△ABC的值為20．
（3）∵μ=

1

2

BC•DE，而μ=20，BC=10，
∴DE=4．

點評：該題主要考查了相似三角形的判定及其性質(zhì)的應用問題；解題的關(guān)鍵是深入觀察探究命題圖形結(jié)構(gòu)特點，靈活選用有關(guān)定理來分析、推理或解答．