Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于點A，B，與y軸交于點C，直線BC的解析式為y＝﹣x+6．

(1)求拋物線的解析式；

(2)點M為線段BC上方拋物線上的任意一點，連接MB，MC，點N為拋物線對稱軸上任意一點，當(dāng)M到直線BC的距離最大時，求點M的坐標(biāo)及MN+NB的最小值；

(3)在(2)中，點M到直線BC的距離最大時，連接OM交BC于點E，將原拋物線沿射線OM平移，平移后的拋物線記為y′，當(dāng)y′經(jīng)過點M時，它的對稱軸與x軸的交點記為H．將△BOE繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°至△BO1E1，再將△BO1E1沿著直線O1H平移，得到△B1O2E2，在平面內(nèi)是否存在點F，使以點C，H，B1，F(xiàn)為頂點的四邊形是以B1H為邊的菱形．若存在，直接寫出點B1的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)y＝﹣x2+2x+6；(2)點M的坐標(biāo)及MN+NB的最小值分別為：（3，），；(3)存在，此時，點B1的橫坐標(biāo)為18．

【解析】

（1）直線BC的解析式為y=-x+6，則B（6，0）、C（0，6），把B、C坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式，解得：y=-x2+2x+6；

（2）設(shè)M橫坐標(biāo)為t，則M到直線BC的距離為d==；點B關(guān)于對稱軸的對稱點為A，則AM為MN+NB的最小值，即可求解；

（3）OM所在直線方程為：y=x，當(dāng)拋物線沿OM直線平移時，設(shè)頂點向右平移2m，則向上平移了5m，新頂點坐標(biāo)為（2+2m，8+5m），則y′=-（x-2-2m）2+（8+5m），把點M（3，）代入上式，解得：m=，則H（9，0）．①假設(shè)：平行四邊形處于CF′HB′1位置時，該四邊形為菱形，則B′1的y坐標(biāo)為6，則其x坐標(biāo)為9+2，而B′1C=9+2，B′1H=4，即：B′1C≠B′1H，CF′HB′1不是菱形；②假設(shè)：平行四邊形處于CHB1F位置時，該四邊形為菱形，則B1的橫坐標(biāo)為2OH=18．

(1)直線BC的解析式為y＝﹣x+6，則B（6，0）、C（0，6），

把點B、C坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式，

解得：y＝﹣x2+2x+6，

此時，頂點坐標(biāo)為（2，8），A（﹣2，0）；

(2)設(shè)M橫坐標(biāo)為t，則M到直線BC的距離為d＝＝，

∴當(dāng)t＝3時，d最大，則M（3，），

點B關(guān)于對稱軸的對稱點為A，則AM為MN+NB的最小值，AM＝＝；

∴點M的坐標(biāo)及MN+NB的最小值分別為：（3，），；

(3)OM所在直線方程為：y＝x，

當(dāng)拋物線沿OM直線平移時，設(shè)頂點向右平移2m，則向上平移了5m，新頂點坐標(biāo)為（2+2m，8+5m），

則y′＝﹣（x﹣2﹣2m）2+（8+5m），

把點M（3，）代入上式，解得：m＝，（m＝0舍去），則H（9，0），

△BOE繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°至△BO1E1，此時，直線BO1的k值為，

再將△BO1E1沿著直線O1H平移，得到△B1O2E2，直線B1H的k也為，

則B1H所在的直線方程為：y＝x﹣9，

①假設(shè)：平行四邊形處于CF′HB′1位置時，該四邊形為菱形，則B′1的y坐標(biāo)為6，則其x坐標(biāo)為9+2，

而B′1C＝9+2，B′1H＝4，即：B′1C≠B′1H，CF′HB′1不是菱形；

②假設(shè)：平行四邊形處于CHB1F位置時，該四邊形為菱形，則B1的橫坐標(biāo)為2OH＝18．

故：存在，此時，點B1的橫坐標(biāo)為18．