Question

【題目】某商店銷(xiāo)售面向中考生的計(jì)數(shù)跳繩，每根成本為20元，銷(xiāo)售的前40天內(nèi)的日銷(xiāo)售量m（根）與時(shí)間t（天）的關(guān)系如表．

時(shí)間t（天）	1	3	8	10	26	…
日銷(xiāo)售量m（件）	51	49	44	42	26	…

前20天每天的價(jià)格y1（元/件）與時(shí)間t（天）的函數(shù)關(guān)系式為：y1= t+25（1≤t≤20且t為整數(shù)）；后20天每天的價(jià)格y2（元/件）與時(shí)間t（天）的函數(shù)關(guān)系式為：y2=﹣ t+40（21≤t≤40且t為整數(shù)）．
（1）認(rèn)真分析表中的數(shù)據(jù)，用所學(xué)過(guò)的一次函數(shù)，二次函數(shù)的知識(shí)確定一個(gè)滿(mǎn)足這些數(shù)據(jù)m（件）與t（天）之間的關(guān)系式；
（2）請(qǐng)計(jì)算40天中娜一天的日銷(xiāo)售利潤(rùn)最大，最大日銷(xiāo)售利潤(rùn)是多少？
（3）在實(shí)際銷(xiāo)售的前20天中，該公司決定每銷(xiāo)售一件商品就捐贈(zèng)a元利潤(rùn)（a＜3）給希望工程，公司通過(guò)銷(xiāo)售記錄發(fā)現(xiàn)，前20天中扣除捐贈(zèng)后的日銷(xiāo)售利潤(rùn)隨時(shí)間t（天）的增大而增大，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由表格中數(shù)據(jù)可知，當(dāng)時(shí)間t每增加1天，日銷(xiāo)售量相應(yīng)減少1件，

∴m與t滿(mǎn)足一次函數(shù)關(guān)系，

設(shè)m=kt+b，將（1，51）、（3，49）代入，

得： ，

解得： ，

∴m與t的函數(shù)關(guān)系為：m=﹣t+52

（2）解：設(shè)日銷(xiāo)售利潤(rùn)為P，

當(dāng)1≤t≤20時(shí)，

P=（﹣t+52）（ t+25﹣20）=﹣ （t﹣16）2+324，

∴當(dāng)t=16時(shí)，P有最大值，最大值為324元；

當(dāng)21≤t≤40時(shí)，

P=（﹣t+52）（﹣ t+40﹣20）= （t﹣46）2﹣18，

∵當(dāng)t＜46時(shí)，P隨t的增大而減小，

∴當(dāng)t=21時(shí)，P取得最大值，最大值為 （21﹣46）2﹣18=294.5元；

∵324＞294.5，

∴第16天時(shí)，銷(xiāo)售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為324元

（3）解：設(shè)前20天扣除捐贈(zèng)后的日利潤(rùn)為W，

則W=（﹣t+52）（ t+25﹣20﹣a）=﹣ [t﹣2（8+a）]2+a2﹣36a+324，

∴對(duì)稱(chēng)軸為t=16+2a，

∵1≤t≤20，

∴16+2a≥20，解得：a≥2，

即a≥2時(shí)，W隨t的增大而增大，

又∵a＜3，

∴2≤a＜3

【解析】（1）從表格可看出每天比前一天少銷(xiāo)售1件，所以判斷為一次函數(shù)關(guān)系式，待定系數(shù)法求解可得解析式；（2）日利潤(rùn)=日銷(xiāo)售量×每件利潤(rùn)，據(jù)此分別表示前20天和后20天的日利潤(rùn)，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)求最大值后比較得出結(jié)論；（3）列式表示前20天中每天扣除捐贈(zèng)后的日銷(xiāo)售利潤(rùn)，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)求a的取值范圍．