Question

7．已知：a，b是關于x的方程（m-1）x²+2x-1=0的兩個不相等的實數(shù)根，當m取最小整數(shù)時，則a³-a²+7b-1998的值為-2015．

Answer 1

分析 根據(jù)一元二次方程的定義和判別式的意義得到m-1≠0且△=2²-4（m-1）（-1）＞0，解不等式求出m＞0且m≠1，那么m滿足條件的最小整數(shù)為2，則原方程化為x²+2x-1=0，再根據(jù)一元二次方程的解的定義以及根與系數(shù)的關系得出a²+2a-1=0，a+b=-2，即a²+2a=1，然后將a³-a²+7b-1998變形為a（a²+2a）-3a²+7b-1998=a-3a²+7b-1998=-3（a²+2a）+7（a+b）-1998，代入計算即可．

解答 解：根據(jù)題意得m-1≠0且△=2²-4（m-1）（-1）＞0，
解得m＞0且m≠1；
所以m滿足條件的最小整數(shù)為2，則原方程化為x²+2x-1=0，
∵a，b是方程的兩個根，
∴a²+2a-1=0，a+b=-2，
∴a²+2a=1，
∴a³-a²+7b-1998=a（a²+2a）-3a²+7b-1998
=a-3a²+7b-1998
=-3（a²+2a）+7a+7b-1998
=-3+7（a+b）-1998
=-3+7×（-2）-1998
=-2015．
故答案為-2015．

點評 本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當△＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當△=0，方程有兩個相等的實數(shù)根；當△＜0，方程沒有實數(shù)根．也考查了一元二次方程的定義，一元二次方程的解的定義以及根與系數(shù)的關系．