Question

如圖，拋物線y=x²+mx+n與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，四邊形OBHC為矩形，CH的延長(zhǎng)線交拋物線于點(diǎn)D（5，2），連接BC、AD．
（1）求C點(diǎn)的坐標(biāo)及拋物線的解析式；
（2）將△BCH繞點(diǎn)B按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后再沿x軸對(duì)折得到△BEF（點(diǎn)C與點(diǎn)E對(duì)應(yīng)），判斷點(diǎn)E是否落在拋物線上，并說明理由；
（3）設(shè)過點(diǎn)E的直線交AB邊于點(diǎn)P，交CD邊于點(diǎn)Q．問是否存在點(diǎn)P，使直線PQ分梯形ABCD的面積為1：3兩部分？若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于CD∥x軸，因此C，D兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，那么C點(diǎn)的坐標(biāo)就是（0，2），n=2；已知拋物線過D點(diǎn)，可將D的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中即可求出m的值，也就確定了拋物線的解析式；
（2）由于旋轉(zhuǎn)翻折只是圖形的位置有變化，而大小不變，因此：△BCH≌△BEF，OC=BF，CH=EF．OC的長(zhǎng)可以通過C點(diǎn)的坐標(biāo)得出，求CH即OB的長(zhǎng)，要先得出B點(diǎn)的坐標(biāo)，可通過拋物線的解析式來求得．這樣可得出E點(diǎn)的坐標(biāo)，然后代入拋物線的解析式即可判斷出E是否在拋物線上；
（3）本題可先表示出直線PQ分梯形ABCD兩部分的各自的面積．首先要得出P，Q的坐標(biāo)．
可先設(shè)出P點(diǎn)的坐標(biāo)如：（a，0）．由于直線PQ過E點(diǎn)，因此可根據(jù)P，E的坐標(biāo)用待定系數(shù)法表示出直線PQ的解析式，進(jìn)而可求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)．這樣就能表示出BP，AP，CQ，DQ的長(zhǎng)，也就能表示出梯形BPQC和梯形APQD的面積．然后分類進(jìn)行討論
①梯形BPQC的面積：梯形APQD的面積=1：3，
②梯形APQD的面積：梯形BPQC的面積=1：3，
根據(jù)上述兩種不同的比例關(guān)系式，可求出各自的a的取值，也就能求出不同的P點(diǎn)的坐標(biāo)．綜上所述可求出符合條件的P點(diǎn)的坐標(biāo)．
解答：解：（1）∵四邊形OBHC為矩形，
∴CD∥AB，
又D（5，2），
∴C（0，2），OC=2．
∴，
解得，
∴拋物線的解析式為：y=x²-x+2；

（2）點(diǎn)E落在拋物線上．理由如下：
由y=0，得x²-x+2=0．
解得x₁=1，x₂=4．
∴A（4，0），B（1，0）．
∴OA=4，OB=1．
由矩形性質(zhì)知：CH=OB=1，BH=OC=2，∠BHC=90°，
由旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱性質(zhì)知：EF=1，BF=2，∠EFB=90°，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（3，-1）．
把x=3代入y=x²-x+2，得y=•3²-•3+2=-1，
∴點(diǎn)E在拋物線上；

（3）存在點(diǎn)P（a，0）．記S_梯形BCQP=S₁，S_梯形ADQP=S₂，易求S_梯形ABCD=8．
當(dāng)PQ經(jīng)過點(diǎn)F（3，0）時(shí)，易求S₁=5，S₂=3，
此時(shí)S₁：S₂不符合條件，故a≠3．
設(shè)直線PQ的解析式為y=kx+b（k≠0），
則，
解得，
∴．
由y=2得x=3a-6，
∴Q（3a-6，2）
∴CQ=3a-6，BP=a-1，s₁=（3a-6+a-1）•2=4a-7．
下面分兩種情形：
①當(dāng)S₁：S₂=1：3時(shí)，S₁=S_梯形ABCD=×8=2；
∴4a-7=2，解得；
②當(dāng)S₁：S₂=3：1時(shí)，S₁=S_梯形ABCD=×8=6；
∴4a-7=6，解得；
綜上所述：所求點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，0）或（，0）
點(diǎn)評(píng)：本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、圖形旋轉(zhuǎn)翻折變換、矩形的性質(zhì)等重要知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，考查學(xué)生分類討論，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．