Question

如圖，點(diǎn)O是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠AOB=110°，∠BOC=α．以O(shè)C為一邊作等邊三角形OCD，連接AC、AD．
（1）當(dāng)α=150°時(shí)，試判斷△AOD的形狀，并說明理由；
（2）探究：當(dāng)a為多少度時(shí)，△AOD是等腰三角形？

Answer 1

（1）∵△OCD是等邊三角形，
∴OC=CD，
而△ABC是等邊三角形，
∴BC=AC，
∵∠ACB=∠OCD=60°，
∴∠BCO=∠ACD，
在△BOC與△ADC中，
∵

OC=CD ∠BCO=∠ACD BC=AC

，
∴△BOC≌△ADC，
∴∠BOC=∠ADC，
而∠BOC=α=150°，∠ODC=60°，
∴∠ADO=150°-60°=90°，
∴△ADO是直角三角形；

（2）∵設(shè)∠CBO=∠CAD=a，∠ABO=b，∠BAO=c，∠CAO=d，
則a+b=60°，b+c=180°-110°=70°，c+d=60°，a+d=50°∠DAO=50°，
∴b-d=10°，
∴（60°-a）-d=10°，
∴a+d=50°，
即∠CAO=50°，
①要使AO=AD，需∠AOD=∠ADO，
∴190°-α=α-60°，
∴α=125°；
②要使OA=OD，需∠OAD=∠ADO，
∴α-60°=50°，
∴α=110°；
③要使OD=AD，需∠OAD=∠AOD，
∴190°-α=50°，
∴α=140°．
所以當(dāng)α為110°、125°、140°時(shí)，三角形AOD是等腰三角形．