Question

【題目】如圖，在ΔABC中，∠C=90°，∠B=30°，以點A為圓心，任意長為半徑畫弧分別交AB、AC于點M、N.再分別以點M、N為圓心，大于MN的長為半徑畫弧，兩弧交于P點，連接AP并延長交BC于點D，則下列說法中：①AD是∠BAC的平分線；②∠ADC=60°；③點D與AB中點的連線垂直平分AB；④SΔDAC:SΔABC=1:3；正確的是( )

A.①③B.②④C.①②③D.①②③④

Answer 1

【答案】D

【解析】

根據(jù)作圖的步驟即可判斷①；

根據(jù)已知和①的結(jié)論可求出∠CAD的度數(shù)，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可求得∠ADC的度數(shù)，由此可判斷②；

先證明DA=DB，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可判斷③；

由②和③可得CD與DB的關(guān)系，進而可判斷④.

解：根據(jù)作圖可知：AD是∠BAC的平分線，所以①正確；

∵∠C=90°，∠B=30°，∴∠BAC=60°，∵AD是∠BAC的平分線，∴∠CAD=∠BAD=30°，

∴∠ADC=60°，所以②正確；

∵∠B=∠BAD=30°，∴DA=DB，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)知：點D與AB中點的連線垂直平分AB，所以③正確；

在直角△ADC中，∵∠CAD =30°，∴，∴，∴SΔDAC:SΔABC=1:3，所以④正確.

故選：D.