Question

問題背景：
如圖（a），點(diǎn)A、B在直線l的同側(cè)，要在直線l上找一點(diǎn)C，使AC與BC的距離之和最小，我們可以作出點(diǎn)B關(guān)于l的對稱點(diǎn)B′，連接A B′與直線l交于點(diǎn)C，則點(diǎn)C即為所求．

（1）實(shí)踐運(yùn)用：
如圖（b），在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（0，1）、點(diǎn)B（4，2），要在x軸上找一點(diǎn)C，使AC、BC的距離之和最小，我們可以作出點(diǎn)B關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)B′，且B′的坐標(biāo)為（4，-2），連接AB′與x軸交于點(diǎn)C，則點(diǎn)C即為所求，此時(shí)AC+BC的最小值為

 

．
（2）實(shí)踐再運(yùn)用：
如圖（c），已知，⊙O的直徑CD為4，點(diǎn)A在⊙O上，∠ACD=30°，B為弧AD 的中點(diǎn)，P為直徑CD上一動(dòng)點(diǎn)，則BP+AP的最小值為

 

．
（3）運(yùn)用拓展：
如圖（d），在Rt△ABC中，AB=10，∠BAC=45°，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，E、F分別是線段AD和AB上的動(dòng)點(diǎn)，求BE+EF的最小值，并寫出解答過程．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題,軸對稱-最短路線問題

專題：綜合題

分析：（1）根據(jù)關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到B′點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，-2），再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式可計(jì)算出AB′=5，然后利用兩點(diǎn)之間線段最短可得到AC+BC的最小值為5；
（2）作出點(diǎn)B關(guān)于CD的對稱點(diǎn)B′，連結(jié)OA、OB′，AB′交CD于P′，利用對稱性得到BD弧=B′D弧，AP′+P′B=AP′+P′B′=AB′，根據(jù)圓周角定理由∠ACD=30°，B為弧AD 的中點(diǎn)得到∠AOB=60°，∠DOB′=30°，所以∠AOB′=90°，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得AB′=

2

OA=2

2

，然后利用兩點(diǎn)之間線段最短可得到當(dāng)P為運(yùn)動(dòng)到P′點(diǎn)，BP+AP的值最小，最小值為2

2

；
（3）作BH⊥AC于H，BH交AD于E′，作E′F′⊥AB于F′，根據(jù)角平分線定理由AD為∠BAC的平分線得到E′H=E′F′，則BE′+E′F′=BE′+E′H=BH，在Rt△ABH中，AB=10，∠BAC=45°，根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)得BH=

2

2

AB=5

2

，所以當(dāng)E點(diǎn)在E′點(diǎn)的位置時(shí)，BE+EF有最小值，最小值為5

2

．

解答：解：（1）如圖（b），
∵點(diǎn)B關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為B′，
∴B′點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，-2），
∴AB′=

42+(1+2)2

=5，
∵CB=CB′，
∴AC+BC的最小值為5；
（2）如圖（c），作出點(diǎn)B關(guān)于CD的對稱點(diǎn)B′，連結(jié)OA、OB′，AB′交CD于P′，則BD弧=B′D弧，AP′+P′B=AP′+P′B′=AB′，
∵∠ACD=30°，B為弧AD 的中點(diǎn)，
∴∠AOB=60°，∠DOB′=30°，
∴∠AOB′=90°，
∵OA=2，
∴AB′=

2

OA=2

2

，
∴P為運(yùn)動(dòng)到P′點(diǎn)，BP+AP有最小值，最小值為2

2

；
故答案為5，2

2

；
（3）如圖（d），作BH⊥AC于H，BH交AD于E′，作E′F′⊥AB于F′，
∵AD為∠BAC的平分線，
∴E′H=E′F′，
∴BE′+E′F′=BE′+E′H=BH，
在Rt△ABH中，AB=10，∠BAC=45°，
∴BH=

2

2

AB=5

2

，
∴當(dāng)E點(diǎn)在E′點(diǎn)的位置時(shí)，BE+EF有最小值，最小值為5

2

．

點(diǎn)評：本題考查了圓的綜合題：熟練掌握圓周角定理、等腰直角三角形的性質(zhì)和角平分線定理；會(huì)解決軸對稱-最短路線問題．