Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知二次函數(shù)y=的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，0）和點(diǎn)B（1，-），直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)且與y軸垂直，垂足為Q．

（1）求該二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）設(shè)拋物線(xiàn)上有一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B處出發(fā)沿拋物線(xiàn)向上運(yùn)動(dòng)，其縱坐標(biāo)y₁隨時(shí)間t（t≥0）的變化規(guī)律為y₁=-+2t．現(xiàn)以線(xiàn)段OP為直徑作⊙C．
①當(dāng)點(diǎn)P在起始位置點(diǎn)B處時(shí)，試判斷直線(xiàn)l與⊙C的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，直線(xiàn)l與⊙C是否始終保持這種位置關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明你的理由．
②若在點(diǎn)P開(kāi)始運(yùn)動(dòng)的同時(shí)，直線(xiàn)l也向上平行移動(dòng)，且垂足Q的縱坐標(biāo)y₂隨時(shí)間t的變化規(guī)律為y₂=-1+3t，則當(dāng)t在什么范圍內(nèi)變化時(shí)，直線(xiàn)l與⊙C相交？此時(shí)，若直線(xiàn)l被⊙C所截得的弦長(zhǎng)為a，試求a²的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）所求函數(shù)的解析式中有兩個(gè)待定系數(shù)，直接將A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入即可得解．
（2）①由于OP是⊙C的直徑，根據(jù)P點(diǎn)的縱坐標(biāo)可表示出C點(diǎn)的縱坐標(biāo)，進(jìn)而能表示出C到直線(xiàn)l的距離；OP長(zhǎng)易得，然后通過(guò)比較⊙C的半徑和C到直線(xiàn)l的距離，即可判定直線(xiàn)l與⊙C的位置關(guān)系．
②該題要分兩問(wèn)來(lái)答，首先看第一問(wèn)；該小題的思路和①完全一致，唯一不同的地方：要注意直線(xiàn)l與點(diǎn)C的位置關(guān)系（需要考慮到C到直線(xiàn)l的表達(dá)方式）．
在第二問(wèn)中，a²最大，那么a最大，即直線(xiàn)l被⊙C截得的弦最長(zhǎng)（為直徑），此時(shí)圓心C應(yīng)在直線(xiàn)l上，根據(jù)該思路即可得解．
解答：解：（1）將點(diǎn)A（2，0）和點(diǎn)B（1，-）分別代入y=x²+mx+n中，得：
，
解得：，
∴拋物線(xiàn)的解析式：y=x²-1；

（2）①將P點(diǎn)縱坐標(biāo)代入（1）的解析式，得：
x²-1=-+2t，x=，
∴P（，-+2t），
∴圓心C（，-+t），
∴點(diǎn)C到直線(xiàn)l的距離：-+t-（-1）=t+；
而OP²=8t+1+（-+2t）²，得OP=2t+，半徑OC=t+；
∴直線(xiàn)l與⊙C始終保持相切．
②Ⅰ、當(dāng)圓心C在直線(xiàn)l上時(shí)，-+t=-1+3t，t=；
此時(shí)直線(xiàn)l與⊙C相交；
  當(dāng)0＜t≤時(shí)，C到直線(xiàn)l的距離：-+t-（-1+3t）=-2t＜t+，
∴直線(xiàn)l與⊙C相交；
  當(dāng)t＞時(shí)，C到直線(xiàn)l的距離：-1+3t-（-+t）=2t-，
若直線(xiàn)l與⊙C相交，則：2t-＜t+，t＜；
  綜上，當(dāng)0＜t＜時(shí)，直線(xiàn)l與⊙C相交；
Ⅱ、∵0＜t＜時(shí)，圓心C到直線(xiàn)l的距離為d=|2t-|，又半徑為r=t+，
∴a²=4（r²-d²）=4[（t+）²-|2t-|²]=-12t²+15t，
∴t=時(shí)，a的平方取得最大值為．
點(diǎn)評(píng)：該題是函數(shù)的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，其中涉及直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系等綜合知識(shí)；在處理此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，要注意尋找關(guān)鍵點(diǎn)以及分段進(jìn)行討論，以免出現(xiàn)漏解．