Question

24、一個(gè)自然數(shù)a，若將其數(shù)字重新排列可得一個(gè)新的自然數(shù)b．如果a恰是b的3倍，我們稱(chēng)a是一個(gè)“希望數(shù)”．
（1）請(qǐng)你舉例說(shuō)明：“希望數(shù)”一定存在．
（2）請(qǐng)你證明：如果a，b都是“希望數(shù)”，則ab一定是729的倍數(shù)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)希望數(shù)的定義可知，428571=3×142857，故此數(shù)即為希望數(shù)；
（2）由于a、b均為希望數(shù)，所以存在一個(gè)由a的數(shù)字重新排列而成的自然數(shù)p，使得a=3p并且a的數(shù)字和等于p的數(shù)字和，根據(jù)整除的判別法可知a為3的倍數(shù)、p為9的倍數(shù)，再由a，b都是“希望數(shù)”，可知a，b都是27的倍數(shù)，設(shè)a=27n₁，b=27n₂（n₁，n₂為正整數(shù)）代入ab即可得出答案．

解答：解：（1）∵428571=3×142857，
∴428571是一個(gè)“希望數(shù)”．
（2）∵a為“希望數(shù)”，依“希望數(shù)”定義知，存在一個(gè)由a的數(shù)字重新排列而成的自然數(shù)p，使得a=3p并且a的數(shù)字和等于p的數(shù)字和．
∵a=3p和a為3的倍數(shù)，但a的數(shù)字和等于P的數(shù)字和，
∴由整除判別法，知p為3的倍數(shù)，
∴p=3m，（m為正整數(shù)），
∴a=3×p=3×3m=9m，
∴a被9整除．
∵a的數(shù)字和等于p的數(shù)字和，
∴由被9整除的判別法可知p能被9整除，即p=9k（k為整數(shù)），
∴p=3a=3×9k=27k
∴a是27的倍數(shù)．
∴“希望數(shù)”一定能被27整除．
∵a，b都是“希望數(shù)”，
∴a，b都是27的倍數(shù)，即a=27n₁，b=27n₂（n₁，n₂為正整數(shù)）．
∴ab=（27n₁）（27n₂）
=（27×27）（n₁×n₂）
=729n₁n₂．
∴ab一定是729的倍數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是“希望數(shù)”的定義及數(shù)的整除性問(wèn)題，根據(jù)題意掌握“希望數(shù)”的定義是解答此題的關(guān)鍵．