Question

【題目】如圖，△ABC為等邊三角形，以邊BC為直徑的半圓與邊AB，AC分別交于D，F兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC，垂足為點(diǎn)E．

（1）判斷DE與⊙O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

（2）過(guò)點(diǎn)F作FH⊥BC，垂足為點(diǎn)H，若AB=4，求FH的長(zhǎng)（結(jié)果保留根號(hào)）．

Answer 1

【答案】1）DE是⊙O的切線；（2）．

【解析】

試題（1）連接OD，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出AB=BC，∠B=∠C=60°，從而得出△OBD是等邊三角形，∠BOD=∠C，再證OD∥AC，得出DE⊥OD，即可得出結(jié)論；

（2）先證明△OCF是等邊三角形，得出CF=OC=2，再利用三角函數(shù)即可求出FH．

試題解析：（1）DE是⊙O的切線；理由如下：

連接OD，如圖1所示：∵△ABC是等邊三角形，∴AB=BC=AC，∠B=∠C=60°，∵OB=OD，∴△OBD是等邊三角形，∴∠BOD=60°，∴∠BOD=∠C，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，∴DE是⊙O的切線；

（2）連接OF，如圖2所示：∵OC=OF，∠C=60°，∴△OCF是等邊三角形，∴CF=OC=BC=AB=2，∵FH⊥BC，∴∠FHC=90°，∴FH=CFsin∠C=2×=．