Question

數(shù)學(xué)課上，張老師出示了問題：如圖：△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AB⊥BF，點(diǎn)P為BC上任意一點(diǎn)，且AP⊥PF，請(qǐng)問：AP與PF相等嗎？請(qǐng)說明理由．
如果把“點(diǎn)P是邊BC上任意一點(diǎn)”改為“點(diǎn)P是邊CB上（除B，C外）延長(zhǎng)線上的任意一點(diǎn)”，其它條件不變，那么結(jié)論還成立嗎？如果正確，請(qǐng)畫出圖形，寫出證明過程．

Answer 1

解：（1）
如圖作FO⊥CB延長(zhǎng)線于O點(diǎn)．
∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，
∴∠ABC=45°，
又∵AB⊥BF，
∴∠FBO=45°，
∴BO=FO，
又∵AP⊥PF，
∴∠CAP=∠OPF（同角的余角相等），
∴△ACP∽△POF，
∴，
∵PO=PB+BO=PB+FO，AC=BC=PB+PC，
∴FO=CP
∴AC=PO．
在△ACP和△POF中，
，
∴△ACP≌△POF（SAS），
∴AP=PF．

（2）如果“點(diǎn)P是邊BC上任意一點(diǎn)”改為“點(diǎn)P是邊CB上（除B，C外）延長(zhǎng)線上的任意一點(diǎn)”，如圖

同（1）題可證△ACP∽△POF，
∴，
∵PO=BO-BP=FO-BP，AC=BC=CP-BP，
∴FO=CP
∴AC=PO．
在△ACP和△POF中

∴△ACP≌△POF（SAS），
∴AP=PF．
分析：（1）作FO⊥CB延長(zhǎng)線于O點(diǎn)．則∠FBO=45度，BO=FO．由AP⊥PF，很容易知道∠CAP=∠OPF（同角的余角相等），從而△ACP相似于△POF，故可知，其中PO=PB+BO=PB+FO，AC=BC=PB+PC，代入可知FO=CP；從而AC=PO．進(jìn)一步知道△ACP全等于△POF，AP=PF．（2）同樣相等，證明方法同上，先證明△ACP相似于△POF，再證明△ACP全等于△POF即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，以及全等三角形的判定與性質(zhì)，正確證明三角形全等的關(guān)鍵是作輔助線．