Question

如圖是以點O為圓心的半圓，AB是半圓的一條弦，延長OB與過點A的直線交于點C，AB=BC=OB．
（1）試求∠C的度數．
（2）若 D是AC上一點，且AD=BD，試說明BD是⊙O的切線．
（3）在（2）的情況下，若圓O的半徑為2，求BD的長．

Answer 1

分析：（1）利用直角三角形的判定得出△OAC是直角三角形，再利用等腰三角形的性質得出，進而得出∠OAB+∠BAC=x+2x=90°，即可得出答案；
（2）利用等腰三角形的性質得出∠BAD=∠ABD=30°，再利用切線的判定得出∠OBD=90°，即可得出答案；
（3）利用等邊三角形的判定得出△OAB為等邊三角形，再利用銳角三角函數求出BD即可．

解答：（1）解：如圖1，在△OAC中，
∵AB=BC=OB，
∴△OAC是直角三角形，即∠OAC=90°，
設∠C=x，
∵AB=BC，
∴∠BAC=∠C=x，
則∠OBA=2x，
∵OA=OB，
∴∠OAB=2x，
∴∠OAB+∠BAC=x+2x=90°，
解得：x=30°，
故∠C等于30°．

（2）證明：如圖1，
由（1）得：∠C=30°，
則∠OAB=∠OBA=60°，
∵AD=BD，
∴∠BAD=∠ABD=30°，
∴∠OBD=90°，
∵OB是半徑，
∴BD是⊙O的切線．

（3）解：如圖2，過點D作DE⊥AB于點E，
∵由（1）可得，AO=OB，∠OAB=∠OBA=60°，
∴△OAB為等邊三角形，
∵圓O的半徑為2，
∴AB=2，
∵AD=BD，∠ABD=30°，
∴AE=BE=1，
∴cos30°=

BE

BD

，
故BD=

BE

cos30°

=

1

3 2

=

2 3

3

．

點評：此題主要考查了直角三角形的判定以及等邊三角形的判定和切線的判定等知識，熟練利用相關判定定理得出是解題關鍵．