Question

【題目】已知⊙O的半徑為2，∠AOB=120°．

（1）點O到弦AB的距離為　　；．

（2）若點P為優(yōu)弧AB上一動點（點P不與A、B重合），設(shè)∠ABP=α，將△ABP沿BP折疊，得到A點的對稱點為A′；

①若∠α=30°，試判斷點A′與⊙O的位置關(guān)系；

②若BA′與⊙O相切于B點，求BP的長；

③若線段BA′與優(yōu)弧APB只有一個公共點，直接寫出α的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）1；（2）①點A′在⊙O上；②；③0°＜α＜30°或60°≤α＜120°

【解析】

（1）如圖，作輔助線；證明∠AOC=60°，得到OC=1．

（2）①證明∠PAB=90°，得到PB是⊙O的直徑；證明∠PA′B=90°，即可解決問題．

②證明∠A′BP=∠ABP=60°；借助∠APB=60°，得到△PAB為正三角形，求出AB的長即可解決問題．

③直接寫出α的取值范圍即可解決問題．

解：（1）如圖，過點O作OC⊥AB于點C；

∵OA=OB，

則∠AOC=∠BOC=×120°=60°，

∵OA=2，

∴OC=1．

故答案為1．

（2）①∵∠AOB=120°

∴∠APB=∠AOB=60°，

∵∠PBA=30°，

∴∠PAB=90°，

∴PB是⊙O的直徑，

由翻折可知：∠PA′B=90°，

∴點A′在⊙O上．

②由翻折可知∠A′BP=∠ABP，

∵BA′與⊙O相切，

∴∠OBA′=90°，

∴∠ABA′=120°，

∴∠A′BP=∠ABP=60°；

∵∠APB=60°，

∴△PAB為正三角形，

∴BP=AB；

∵OC⊥AB，

∴AC=BC；而OA=2，OC=1，

∴AC=，

∴BP=AB=2．

③α的取值范圍為0°＜α＜30°或60°≤α＜120°．