Question

4．如圖，在四邊形ABCD中，CA平分∠DCB，∠ADC=∠BAC=90°．
（1）求證：AC²=BC•DC；
（2）若BC=5，DC=1，求線段AD的長．

Answer 1

分析 （1）由CA平分∠DCB，可推得∠ACB=∠ACD，又由于∠ADC=∠BAC，可證得△ABC∽△DAC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可推出結(jié)論；
（2）由（1）可推出AC²=5×1=5，根據(jù)勾股定理可求AD．

解答 （1）證明：∵CA平分∠DCB，
∴∠ACB=∠ACD，
∵∠ADC=∠BAC=90°，
∴△ABC∽△DAC，
$\frac{AC}{DC}=\frac{BC}{AC}$，
∴AC²=BC•DC；

（2）解：由（1）知，AC²=BC•DC，
∵BC=5，DC=1，
∴AC²=5×1=5，
∵∠ADC=90°，
AD=$\sqrt{A{C}^{2}-D{C}^{2}}$=$\sqrt{5-{1}^{2}}$=2．

點評 本題主要考查了角平分線的定義，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．