Question

5．如圖1，AB是⊙O的直徑，以O(shè)A為直徑作半圓O₁，OB為直徑作半圓O₂，E是半圓O₁上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E與點(diǎn)A，O不重合），連接AE并延長，交⊙O于點(diǎn)C，連接CO并延長，交⊙O與點(diǎn)D，連接BD交半圓于點(diǎn)O₂于點(diǎn)F，OA=4．
（1）試判斷AE與DF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（2）當(dāng)OC與半圓O₁相切時(shí)，求AE的長；
（3）過點(diǎn)C作CG⊥QB，垂足為G，如圖2所示，設(shè)BF=x，OG=y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）連接OE，OF，得到OE⊥AC，推出AOC≌△BOD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AC=BD，即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠AOC=90°，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠AOE=45°，由勾股定理即可得到結(jié)論；
（3）連接OF，①當(dāng)點(diǎn)G在OA上時(shí)，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{AG}{AC}$=$\frac{BF}{OB}$，于是求得y=-$\frac{1}{2}$x²+4（0＜x≤2$\sqrt{2}$），②當(dāng)點(diǎn)G在OB上時(shí)，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到于是求得y=x²-4（2$\sqrt{2}$＜x＜4）．

解答 解：（1）AE=DF，
證明：如圖1，連接OF，
∴OE⊥AC，
∵OA=OAC，
∴AE=CE，
同理可得BF=DF，
在△AOC和△BOD中，$\left\{\begin{array}{l}{OA=OB}\\{∠AOC=∠BOD}\\{OC=OD}\end{array}\right.$，
∴AOC≌△BOD，
∴AC=BD，
∴AE=DF；

（2）當(dāng)OC與半圓O₁相切時(shí)，∠AOC=90°，
∴∠AOE=45°，
∵∠OEA=90°，OA=4，
∴AE=2$\sqrt{2}$；

（3）如圖2，連接OF，
①當(dāng)點(diǎn)G在OA上時(shí)，由（1）得∠CAG=∠OBF，
∵∠AGC=∠BFO，
∴△AGC∽△BPO，
∴$\frac{AG}{AC}$=$\frac{BF}{OB}$，
即$\frac{4-y}{2x}$=$\frac{x}{4}$，
∴y=-$\frac{1}{2}$x²+4（0＜x≤2$\sqrt{2}$），
②如圖3，當(dāng)點(diǎn)G在OB上時(shí)，同①可得△AGC∽△BFO，
∴$\frac{AG}{AC}$=$\frac{BF}{OB}$，
即$\frac{4+y}{2x}=\frac{x}{4}$，
∴y=x²-4（2$\sqrt{2}$＜x＜4）．

點(diǎn)評 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，切線的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，求函數(shù)的解析式，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．