如圖,點(diǎn)E、F分別是正方形ABCD的兩鄰邊BC、CD上的點(diǎn),且∠EAF=,EP⊥AC于P,F(xiàn)Q⊥AC于Q.求證:AB2=AP·AQ.
證明:在正方形ABCD中, ∵AC為對(duì)角線, ∴∠CAB=,即∠1+∠3=. 又∵∠EAF=,即∠2+∠3=, ∴∠1=∠2. 又∵∠B=,F(xiàn)Q⊥AC, ∴△ABE∽△AQF. ∴=. 同理可證△APE∽△ADF. ∴=. 由①②得 =. 又∵AB=AD, ∴AB2=AP·AQ. |
點(diǎn)悟:題目結(jié)論中的三條線段AB、AP、AQ并不在兩個(gè)相鄰的三角形中,故需進(jìn)行等量代換,將線段轉(zhuǎn)化到兩個(gè)相應(yīng)的三角形中,再證明三角形相似.而題目中的正方形又為我們提供了等量代換的條件. 點(diǎn)撥:一般地,如果題目的結(jié)論是等積式,應(yīng)先將其化為比例式,再進(jìn)行分析和證明. |
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