Question

7．已知關(guān)于x的方程x²+mx+m-2=0．
（1）求證：不論m取何實(shí)數(shù)，該方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）若該方程的一個(gè)根為1，求該方程的另一根．

Answer 1

分析 （1）由方程的各系數(shù)結(jié)合根的判別式可得出△=（m-2）²+4＞0，由此即可證出結(jié)論；
（2）將x=1代入原方程，得出關(guān)于m的一元一次方程，解方程求出m的值，將其代入原方程得出關(guān)于x的一元二次方程，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系找出x₁+x₂=-$\frac{a}$=-$\frac{1}{2}$，由此即可得出方程的另一根．

解答 （1）證明：∵在關(guān)于x的方程x²+mx+m-2=0中：△=m²-4×1×（m-2）=m²-4m+8=（m-2）²+4＞0，
∴不論m取何實(shí)數(shù)，該方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
（2）解：將x₁=1代入方程x²+mx+m-2=0中得：
1+m+m-2=0，解得：m=$\frac{1}{2}$．
∴原方程為x²+$\frac{1}{2}$x-$\frac{3}{2}$=0，
∴x₁+x₂=-$\frac{a}$=-$\frac{1}{2}$，
∵x₁=1，
∴x₂=-$\frac{3}{2}$．
故若該方程的一個(gè)根為1，該方程的另一根為-$\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了根的判別式、解一元一次方程以及根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是：（1）找出△=（m-2）²+4＞0；（2）求出m的值．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，根據(jù)根的判別式的符號判斷根的個(gè)數(shù)是關(guān)鍵．