Question

如圖，已知拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-2，0），拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為D，過(guò)O作射線(xiàn)OM∥AD．過(guò)頂點(diǎn)D平行于x軸的直線(xiàn)交射線(xiàn)OM于點(diǎn)C，B在x軸正半軸上，連接BC．
（1）求該拋物線(xiàn)的解析式；
（2）若動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒l個(gè)長(zhǎng)度單位的速度沿射線(xiàn)OM運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s）．問(wèn)：當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形DAOP分別為平行四邊形？直角梯形？等腰梯形？
（3）若OC=OB，動(dòng)點(diǎn)P和動(dòng)點(diǎn)Q分別從點(diǎn)O和點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，分別以每秒l個(gè)長(zhǎng)度單位和2個(gè)長(zhǎng)度單位的速度沿OC和BO運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)設(shè)它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s），連接PQ，當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形BCPQ的面積最小？并求出最小值．
（4）在（3）中當(dāng)t為何值時(shí)，以O(shè)，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與△OAD相似？（直接寫(xiě)出答案）

Answer 1

解：（1）∵拋物線(xiàn)y=a（x-1）²+3（a≠0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-2，0），
∴0=9a+3，
∴a=-，
∴y=-（x-1）²+3；

（2））①∵D為拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)，
∴D（1，3），
過(guò)D作DN⊥OB于N，則DN=3，AN=3，
∴AD==6，
∴∠DAO=60°．
∵OM∥AD，
①當(dāng)AD=OP時(shí)，四邊形DAOP是平行四邊形，
∴OP=6，
∴t=6．
②當(dāng)DP⊥OM時(shí)，四邊形DAOP是直角梯形，
過(guò)O作OH⊥AD于H，AO=2，則AH=1（如果沒(méi)求出∠DAO=60°可由Rt△OHA∽R(shí)t△DNA（求AH=1）
∴OP=DH=5，t=5，
③當(dāng)PD=OA時(shí)，四邊形DAOP是等腰梯形，
易證：△AOH≌△CDP，
∴AH=CP，
∴OP=AD-2AH=6-2=4，
∴t=4．
綜上所述：當(dāng)t=6、5、4時(shí)，對(duì)應(yīng)四邊形分別是平行四邊形、直角梯形、等腰梯形；

（3）∵D為拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為：D（1，3），
過(guò)D作DN⊥OB于N，則DN=3，AN=3，
∴AD==6，
∴∠DAO=60°，
∴∠COB=60°，OC=OB，△OCB是等邊三角形．
則OB=OC=AD=6，OP=t，BQ=2t，
∴OQ=6-2t（0＜t＜3）
過(guò)P作PE⊥OQ于E，則，
∴S_BCPQ=×6×3-×（6-2t）×t，
=，
當(dāng)時(shí)，S_BCPQ的面積最小值為，

（4）當(dāng)△AOD∽△OQP，
則=，
∵AO=2，AD=6，QO=6-2t，OP=t，
∴=，
解得：t=，
當(dāng)△AOD∽△OPQ，
則=，
即=，
解得：t=，
故t=或時(shí)以O(shè)，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與△OAD相似．
分析：（1）將A的坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)y=a（x-1）²+3（a≠0）可得a的值，即可得到拋物線(xiàn)的解析式；
（2）易得D的坐標(biāo)，過(guò)D作DN⊥OB于N；進(jìn)而可得DN、AN、AD的長(zhǎng)，根據(jù)平行四邊形，直角梯形，等腰梯形的性質(zhì)，用t將其中的關(guān)系表示出來(lái)，并求解可得答案；
（3）根據(jù)（2）的結(jié)論，易得△OCB是等邊三角形，可得BQ、PE關(guān)于t的關(guān)系式，將四邊形的面積用t表示出來(lái)，進(jìn)而分析可得最小值及此時(shí)t的值，進(jìn)而可求得PQ的長(zhǎng)．
（4）分別利用當(dāng)△AOD∽△OQP與當(dāng)△AOD∽△OPQ，得出對(duì)應(yīng)邊比值相等，進(jìn)而求出即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及相似三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形、直角梯形、等腰梯形的判定等知識(shí)，將二次函數(shù)的圖象與解析式相結(jié)合處理問(wèn)題、解決問(wèn)題是考查重點(diǎn)．