Question

7．如圖，已知△ABC中，∠BAC=60°，BE、CD分別平分∠ABC、∠ACB，P為BE、CD的交點(diǎn)，連結(jié)AP，若AP=1，則AD+AE=$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 作PM⊥AC．PN⊥B垂足分別為M、N，先證明△PND≌△PME，△PAN≌△PAM，可以得AD+AE=$\sqrt{3}$AP即可解決問(wèn)題．

解答 解：作PM⊥AC．PN⊥B垂足分別為M、N．
∵BE、CD分別平分∠ABC、∠ACB，
∴PA也是∠BAC的平分線，
∴PM=PN，
∵∠BAC=60°，
∴∠BPC=∠MPN=120°，
∴∠DPN=∠MPE，
在△PDN和△PEM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DPN=∠MPE}\\{∠PND=∠PME}\\{PN=PM}\end{array}\right.$，
∴△PND≌△PME，
∴DN=EM，
在△APN和△APM中，
$\left\{\begin{array}{l}{PA=PA}\\{PN=PM}\end{array}\right.$，
∴△PAN≌△PAM，
∴AN=AM，
在RT△PAM中，∵∠PAM=30°，
∴AM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$PA，
∴AD+AE=AN+DN+AM-EM=2AM=$\sqrt{3}$PA，
∵PA=1，
∴$AD+AE=\sqrt{3}$．
故答案為$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)等知識(shí)，添加輔助線構(gòu)造全等三角形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬于中考常考題型．