Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點A坐標(biāo)為（﹣4，4），點B的坐標(biāo)為（4，0）．

（1）求直線AB的解析式；
（2）點M是坐標(biāo)軸上的一個點，若AB為直角邊構(gòu)造直角三角形△ABM，請求出滿足條件的所有點M的坐標(biāo)；
（3）如圖2，以點A為直角頂點作∠CAD=90°，射線AC交x軸的負(fù)半軸與點C，射線AD交y軸的負(fù)半軸與點D，當(dāng)∠CAD繞點A旋轉(zhuǎn)時，OC﹣OD的值是否發(fā)生變化？若不變，直接寫出它的值；若變化，直接寫出它的變化范圍（不要解題過程）．

Answer 1

【答案】
（1）

設(shè)直線AB的解析式為：y=kx+b（k≠0）．

∵點A（﹣4，4），點B（0，2）在直線AB上，

∴ ，解得 ，

∴直線AB的解析式為：y=﹣ x+2

（2）

∵△ABM是以AB為直角邊的直角三角形，

∴有∠BAM=90°或∠ABM=90°，

①當(dāng)∠BAM=90°時，如圖1，

過A作AB的垂線，交x軸于點M1，交y軸于點M2，

則可知△AEM1∽△BEA，

∴ = ，

由（1）可知OE=OB=AE=4，

∴ = ，解得M1E=2，

∴OM1=2+4=6，

∴M1（﹣6，0），

∵AE∥y軸，

∴ = ，即 = ，解得OM2=12，

∴M2（0，12）；

②當(dāng)∠ABM=90°時，如圖2，

過B作AB的垂線，交y軸于點M3，

設(shè)直線AB交y軸于點E，則由（1）可知E（0，2），

∴OE=2，OB=4，

由題意可知△BOE∽△M3OB，

∴ = ，即 = ，解得OM3=8，

∴M3（0，﹣8），

綜上可知點M的坐標(biāo)為（﹣6，0）或（0，12）或（0，﹣8）

（3）

不變．

理由如下：

過點A分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別為G、H，如圖3．

則∠AGC=∠AHD=90°，

又∵∠HOC=90°，

∴∠GAH=90°，

∴∠DAG+∠DAH=90°，

∵∠CAD=90°，

∴∠DAG+∠CAG=90°，

∴∠CAG=∠DAH．

∵A（﹣4，4），

∴OG=AH=AG=OH=4．

在△AGC和△AHD中

∴△AGC≌△AHD（ASA），

∴GC=HD．

∴OC﹣OD=（OG+GC）﹣（HD﹣OH）=OG+OH=8．

故OC﹣OD的值不發(fā)生變化，值為8

【解析】（1）由A、B兩點的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法可求得直線AB的解析式；（2）分別過A、B兩點作AB的垂線，與坐標(biāo)軸的交點即為所求的M點，再結(jié)合相似三角形的性質(zhì)求得OM的長即可求得點M的坐標(biāo)；（3）過A分別作x軸和y軸的垂線，垂足分別為E、F，可證明△AEC≌△AFD，可得到EC=FD，從而可把OC﹣OD轉(zhuǎn)化為FD﹣OD，再利用線段的和差可求得OC﹣OD=OE+OF=8；