Question

求k的值，使得兩個一元二次方程：x²+kx-1=0，x²+x+（k-2）=0有相同的根，并求兩個方程的根．

Answer 1

解：不妨設a是這兩個方程相同的根，由方程根的定義有
a²+ka-1=0，①
a²+a+（k-2）=0．②
①-②有ka-1-a-（k-2）=0，
即（k-1）（a-1）=0，所以k=1，或a=1．
（1）當k=1時，兩個方程都變?yōu)閤²+x-1=0，所以兩個方程有兩個相同的根，
x₁=，x₂=
沒有相異的根；
（2）當a=1時，代入①或②都有k=0，
此時兩個方程變?yōu)閤²-1=0，x²+x-2=0．
解這兩個方程，x²-1=0的根為x₁=1，x₂=-1；
x²+x-2=0的根為x₁=1，x₂=-2．
∴x=1為兩個方程的相同的根．
分析：若兩個方程有相同的根，一般是設出兩個方程的公共根，然后相減，用分組分解法因式分解，求出字母系數(shù)和公共根．
點評：本題考查的是一元二次方程的解和用因式分解法解一元二次方程，兩個方程有公共根，通常是設兩方程的公共根，代入兩個方程，然后相減，求出字母系數(shù)和公共根．