如圖,平面直角坐標(biāo)系中,矩形OABC的對角線AC=10,邊OA=6.
(1)求C點的坐標(biāo);
(2)把矩形OABC沿直線DE對折使點C落在點A處,直線DE與OC、AC、AB的交點分別為D,F(xiàn),E,求折痕DE的長;
(3)若點M在x軸上,平面內(nèi)是否存在點N,使以M、D、F、N為頂點的四邊形是菱形?若存在,請直接寫出點N的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
考點:一次函數(shù)綜合題,全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,菱形的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)
專題:
分析:(1)要求點C的坐標(biāo),只需運用勾股定理求出OC即可.
(2)易證△AFE≌△CFD,得到EF=DF,要求DE,只需求出DF.先證明△DFC∽△AOC,再根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例就可求出DF,進而求出DE.
(3)構(gòu)成菱形的四個頂點的順序不定,需分情況討論.由于D、F是定點,可將線段DF分為兩大類:DF為菱形的一邊、DF為菱形的對角線.然后分別討論即可.
解答:解:(1)∵四邊形OABC是矩形,
∴∠AOC=90°.
∵AC=10,OA=6,
∴OC=8.
∴C點的坐標(biāo)為(8,0).
(2)由折疊可得:DE⊥AC,AF=FC=5.
∵∠FCD=∠OCA,∠DFC=∠AOC=90°,
∴△DFC∽△AOC.
DF
AO
=
FC
OC
=
DC
AC

DF
6
=
5
8
=
DC
10

∴DF=
15
4
,DC=
25
4

∴OD=OC-DC=8-
25
4
=
7
4

∵四邊形OABC是矩形,
∴AB∥DC,
∴∠EAF=∠DCF
在△AFE和△CFD中,
∠EAF=∠DCF
AF=FC
∠EFA=∠DFC

∴△AFE≌△CFD(ASA).
∴EF=DF.
∴DE=2DF=2×
15
4
=
15
2

∴折痕DE的長為
15
2

(3)過點F作FH⊥DC,垂足為H,如圖2,
∵S△DFC=
1
2
DF•FC=
1
2
DC•FH,DF=
15
4
,F(xiàn)C=5,DC=
25
4
,
∴FH=3.
∵FH⊥DC,DF=
15
4
,F(xiàn)H=3,
∴DH=
9
4

∴OH=OD+DH=4.
∴F(4,3).
①若DF為菱形的一邊
當(dāng)DM為菱形的對角線時,如圖3.點N與點F關(guān)于x軸對稱,則點N的坐標(biāo)為(4,-3).
當(dāng)DM為菱形的另一邊時,如圖4.此時FN∥DM,F(xiàn)N=DF=
15
4

∵F(4,3),
∴點N的坐標(biāo)為(4-
15
4
,3)或(4+
15
4
,3)即(
1
4
,3)或(
31
4
,3).
②若DF為菱形的對角線,如圖5.
∵四邊形DNFM為菱形,
∴MN⊥DF,DG=
1
2
DF.
∵DF⊥AC,
∴∠DGM=∠DFC=90°.
∴MN∥AC.
∴△DGM∽△DFC.
DM
DC
=
DG
DF
=
1
2

∴DM=
1
2
DC=
25
8

∵四邊形DNFM為菱形,
∴NF∥DM,NF=DM=
25
8

∴點N的坐標(biāo)為(4-
25
8
,3)即(
7
8
,3).
綜上所述:符合要求的點N的坐標(biāo)可能為(4,-3)、(
1
4
,3)、(
31
4
,3)、(
7
8
,3).
點評:本題運用了矩形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、三角形相似(包括全等)的性質(zhì)及判定、勾股定理等知識,綜合性強;另外,還考查了分類討論的思想,注重對學(xué)生知識和能力的考查,是一條好題.
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(1)在這段時間內(nèi),海監(jiān)船與燈塔P的最近距離是
 
海里.(結(jié)果用根號表示)
(2)在這段時間內(nèi),海監(jiān)船航行了多少海里?(參數(shù)數(shù)據(jù):
2
≈1.414,
3
≈1.732,
6
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x
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