Question

如圖，平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的對角線AC=10，邊OA=6．
（1）求C點的坐標(biāo)；
（2）把矩形OABC沿直線DE對折使點C落在點A處，直線DE與OC、AC、AB的交點分別為D，F(xiàn)，E，求折痕DE的長；
（3）若點M在x軸上，平面內(nèi)是否存在點N，使以M、D、F、N為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題,全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,菱形的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）要求點C的坐標(biāo)，只需運用勾股定理求出OC即可．
（2）易證△AFE≌△CFD，得到EF=DF，要求DE，只需求出DF．先證明△DFC∽△AOC，再根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例就可求出DF，進而求出DE．
（3）構(gòu)成菱形的四個頂點的順序不定，需分情況討論．由于D、F是定點，可將線段DF分為兩大類：DF為菱形的一邊、DF為菱形的對角線．然后分別討論即可．

解答：解：（1）∵四邊形OABC是矩形，
∴∠AOC=90°．
∵AC=10，OA=6，
∴OC=8．
∴C點的坐標(biāo)為（8，0）．
（2）由折疊可得：DE⊥AC，AF=FC=5．
∵∠FCD=∠OCA，∠DFC=∠AOC=90°，
∴△DFC∽△AOC．
∴

DF

AO

=

FC

OC

=

DC

AC

．
∴

DF

6

=

5

8

=

DC

10

．
∴DF=

15

4

，DC=

25

4

．
∴OD=OC-DC=8-

25

4

=

7

4

．
∵四邊形OABC是矩形，
∴AB∥DC，
∴∠EAF=∠DCF
在△AFE和△CFD中，

∠EAF=∠DCF AF=FC ∠EFA=∠DFC

．
∴△AFE≌△CFD（ASA）．
∴EF=DF．
∴DE=2DF=2×

15

4

=

15

2

．
∴折痕DE的長為

15

2

．
（3）過點F作FH⊥DC，垂足為H，如圖2，
∵S△DFC=

1

2

DF•FC=

1

2

DC•FH，DF=

15

4

，F(xiàn)C=5，DC=

25

4

，
∴FH=3．
∵FH⊥DC，DF=

15

4

，F(xiàn)H=3，
∴DH=

9

4

．
∴OH=OD+DH=4．
∴F（4，3）．
①若DF為菱形的一邊
當(dāng)DM為菱形的對角線時，如圖3．點N與點F關(guān)于x軸對稱，則點N的坐標(biāo)為（4，-3）．
當(dāng)DM為菱形的另一邊時，如圖4．此時FN∥DM，F(xiàn)N=DF=

15

4

．
∵F（4，3），
∴點N的坐標(biāo)為（4-

15

4

，3）或（4+

15

4

，3）即（

1

4

，3）或（

31

4

，3）．
②若DF為菱形的對角線，如圖5．
∵四邊形DNFM為菱形，
∴MN⊥DF，DG=

1

2

DF．
∵DF⊥AC，
∴∠DGM=∠DFC=90°．
∴MN∥AC．
∴△DGM∽△DFC．
∴

DM

DC

=

DG

DF

=

1

2

．
∴DM=

1

2

DC=

25

8

．
∵四邊形DNFM為菱形，
∴NF∥DM，NF=DM=

25

8

．
∴點N的坐標(biāo)為（4-

25

8

，3）即（

7

8

，3）．
綜上所述：符合要求的點N的坐標(biāo)可能為（4，-3）、（

1

4

，3）、（

31

4

，3）、（

7

8

，3）．

點評：本題運用了矩形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、三角形相似（包括全等）的性質(zhì)及判定、勾股定理等知識，綜合性強；另外，還考查了分類討論的思想，注重對學(xué)生知識和能力的考查，是一條好題．