Question

17．如圖，在矩形ABCD中，AD=$\sqrt{2}$AB，AE平分∠BAD，DF⊥AE于F，BF交DE、CD于O、H，下列結(jié)論：①∠DEA=∠DEC；②BF=FH；③OE=OD；④BC-CH=2EF；⑤AB=HF，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（　�。�

• A． 2個(gè)
• B． 3個(gè)
• C． 4個(gè)
• D． 5個(gè)

Answer 1

分析 由AE為直角的平分線，得到∠BAE=∠DAE=45°，可得出三角形ABE和三角形AFD為等腰直角三角形，利用勾股定理得到AE=$\sqrt{2}$AB，由已知AD=$\sqrt{2}$AB，得到AD=AE，即三角形ADE為等腰三角形，求出底角∠AED度數(shù)為67.5°，由平角的定義及∠AEB與∠AED度數(shù)求出∠DEC為67.5°，等量代換得到∠DEA=∠DEC，選項(xiàng)①正確；過F作FG垂直于AD，利用三線合一得到G為AD中點(diǎn)，利用平行線等分線段定理得到F為BH中點(diǎn)，即BF=FH，選項(xiàng)②正確；由AD=$\sqrt{2}$AF=$\sqrt{2}$AB，得到AF=AB，即三角形ABF為等腰三角形求出底角∠AFB=67.5°，利用對頂角相等得到∠EFH為67.5°，進(jìn)而求出∠DFO為22.5°，根據(jù)一對直角相等，∠DEA=∠DEC=67.5°，確定出∠EDF=∠EDC=22.5°，確定出∠OFD=∠ODF=22.5°，等角對等邊得到OD=OF，由∠OFE=∠OEF=67.5°，等角對等邊得到OF=OE，等量代換得到OE=OD，選項(xiàng)③正確；同理得到M為BC中點(diǎn)，即FM為三角形BHC的中位線，得到CH=2FM，三角形EFM為等腰直角三角形，由等腰三角形的性質(zhì)可知FM=ME，可得出BC-CH=2CM-2FM=2CM-2ME=2EF，選項(xiàng)④正確；判斷出△ABF不是等邊三角形，從而得到AB≠BF，即AB≠HF，得到⑤錯(cuò)誤．

解答 解：∵四邊形ABCD為矩形，AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE=∠AEB=45°，
∵∠AFD=∠ABE=90°，
∴△AFD與△ABE都為等腰直角三角形，即AF=DF，AB=BE，
∴AE=$\sqrt{2}$AB，
又∵AD=$\sqrt{2}$AB，
∴AD=AE，
∴∠AED=∠ADE=67.5°，
∴∠DEC=180°-45°-67.5°=67.5°，
∴∠DEA=∠DEC，選項(xiàng)①正確；
過F作GM⊥AD，與AD交于G點(diǎn)，與BC交于M點(diǎn)，
利用三線合一得到G為AD中點(diǎn)，
∴F為BH中點(diǎn)，M為BC中點(diǎn)，
∴BF=FH，選項(xiàng)②正確；
∵AD=$\sqrt{2}$AF，AD=$\sqrt{2}$AB，
∴AF=AB，
∴∠AFB=67.5°，
∴∠OFE=∠OEF=67.5°，
∴OE=OF，
∴∠ODF=∠OFD=22.5°，
∴OF=OD，
∴OD=OE，選項(xiàng)③正確；
∴∠DEF=67.5°-45°=22.5°，∠EDC=90°-67.5°=22.5°，
∴∠EDF=∠DEC，
∵EF⊥DF，EC⊥CD，
∴EF=EC，
∵△EFM為等腰直角三角形，
∴FM=ME，
∴BC-CH=2CM-2FM=2CM-2ME=2EF，選項(xiàng)④正確；
∵AB=AF，∠BAE=45°，
∴△ABF不是等邊三角形，
∴AB≠BF，
∴即AB≠HF，故⑤錯(cuò)誤；
綜上所述，結(jié)論正確的是①②③④．
則正確的序號有5個(gè)．
故選C．

點(diǎn)評 此題考查了四邊形綜合題，涉及的知識有：矩形的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，中位線定理，平行線等分線段定理，角平分線定理，利用了等量代換的思想，熟練掌握判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．