Question

（本小題滿(mǎn)分15分）如圖1，拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A和點(diǎn)B.已知點(diǎn)A的坐標(biāo)是（2，4），點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是－2.

（1）求的值及點(diǎn)B的坐標(biāo)； 

（2）設(shè)點(diǎn)D為線(xiàn)段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)D作x軸的垂線(xiàn),垂足為點(diǎn)H.在DH的右側(cè)作等邊△DHG. 將過(guò)拋物線(xiàn)頂點(diǎn)Ｍ的直線(xiàn)記為，設(shè)與x軸交于點(diǎn)N.

① 如圖1，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1，2)時(shí)，若直線(xiàn)過(guò)△DHG的頂點(diǎn)G.求此時(shí)點(diǎn)N的橫坐標(biāo)是多少？

② 若直線(xiàn)與△DHG的邊DG相交，試求點(diǎn)N橫坐標(biāo)的取值范圍.

 

 

Answer 1

【答案】

（1）∵ 點(diǎn)A（2，4）在拋物線(xiàn)上，

∴代入得 =1                                 ……………………………1分

于是拋物線(xiàn)的解析式為

又∵點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為－2，代入得  ∴  B(－2,－4)     ………………2分

（2）①由題意 M(1，5)，D(1，2)，且DH⊥x軸，

∴ 點(diǎn)M在DH上，MH=5.

過(guò)點(diǎn)G作GE⊥DH，垂足為E.

∵△DHG是正三角形，可得EG=, EH=1，

∴ ME＝4.                   

設(shè)N ( x，0 )，則 NH＝x－1,

由△MEG∽△MHN，得.                       ………………5分

∴ , 解得

∴ 點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為．                        ……………………6分

②如右圖，當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)至與點(diǎn)A重合時(shí)，直線(xiàn)與DG交于點(diǎn)G，此時(shí)點(diǎn)N的橫坐標(biāo)最大．

過(guò)點(diǎn)G，M作x軸的垂線(xiàn)，垂足分別為點(diǎn)Q，F.設(shè)N（x，0）

∵  A (2, 4)， ∴ G (, 2)

∴  NQ=，NF =，GQ=2，MF =5.

由題意，

△NGQ∽△NMF，

∴ .                                      ……………………9分

∴ .

∴ .                                    ……………………10分

如右圖，當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)至與點(diǎn)B重合時(shí)，直線(xiàn)與DG交于點(diǎn)D（即點(diǎn)B）此時(shí)點(diǎn)N的橫坐標(biāo)最小. ∵B(－2, －4) ，∴  H(－2, 0)，D(－2, －4).設(shè)N（x，0）.由題意△BHN∽△MFN，

∴ .                        ……………………13分

∴    ∴        ……………………14分

綜上，點(diǎn)N的橫坐標(biāo)取值范圍是≤x≤ ……15分

 

 

【解析】略