Question

如圖，矩形ABCD中，O是對角線AC的中點，延長AB到G，使BG=AB，連接GO并延長，交BC于E，交AD于F，且AC=2AB，連接AE、CF．求證：四邊形AECF是菱形．

Answer 1

證明：連接CG，
∵在矩形ABCD中AC=2AB，
∴∠CAG=60°，
∵BG=AB，
∴AG=AC，
∴△ACG是等邊三角形，
∵O為AC的中點，
∴GF⊥AC，
∵在矩形ABCD中，BC‖AD，
∴∠DAC=∠BCA，AO=OC，∠AOF=∠COE=90°，
∴△AOF≌△COE，
∴CE=AF，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
∴四邊形AECF是菱形（對角線互相垂直的平行四邊形是菱形）．
分析：連接CG，推出∠ACB=30°，∠BAC=60°，證△ACG是等邊三角形，得到AG=CG，推出EF⊥AC，證△AOF≌△COE，推出CE=AF，根據(jù)菱形的判定得到四邊形AECF是菱形即可．
點評：本題主要考查對等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)和判定，菱形的判定，矩形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)角和定理，含30度角的直角三角形性質(zhì)等知識點的理解和掌握，綜合運用這些性質(zhì)進行推理是解此題的關(guān)鍵．