Question

一次函數(shù)y=-

4

3

x+4與坐標(biāo)軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在坐標(biāo)軸上，△ABC為等腰三角形，在所有滿足條件的點(diǎn)C中任取一點(diǎn)，該點(diǎn)落在以原點(diǎn)為圓心，5為半徑的圓內(nèi)的概率是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：根據(jù)自變量為零時(shí)，可得函數(shù)與y軸的交點(diǎn)，函數(shù)值為零時(shí)，可得自變量的值，根據(jù)勾股定理，可得AB的長(zhǎng)．根據(jù)等腰三角形的定義，可得兩邊相等．
分類討論：①當(dāng)C在x軸上時(shí)，當(dāng)AC=AB，AB=BC，BC=AC；②當(dāng)C在y軸上時(shí)，當(dāng)BC=AB=5時(shí)，AC=AB，BC=AC，可得C點(diǎn)坐標(biāo)．再根據(jù)C點(diǎn)到原點(diǎn)的距離小于5的個(gè)數(shù)比上C點(diǎn)的總個(gè)數(shù)，可得答案．

解答：解：當(dāng)x時(shí)，y=4，即B點(diǎn)坐標(biāo)是（0，4），
當(dāng)y=0時(shí)，-

4

3

x+4=0，解得x=3，即A點(diǎn)坐標(biāo)是（3，0），
由勾股定理，得AB=

OA2+OB2

=

32+42

=5，
①當(dāng)C在x軸上時(shí)，當(dāng)AC=AB=5時(shí)，3+5=8，即C₁（8，0），3-5=-2，即C₂（-2，0）；
當(dāng)AB=BC時(shí)，C₃（-3，0）；
當(dāng)BC=AC時(shí)，即BC²=AC²，設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為（a，0），
（a-3）²=a²+4²．化簡(jiǎn)，得-6a=7．
解得a=-

7

6

，即C₄（-

7

6

，0）；
②當(dāng)C在y軸上時(shí)，當(dāng)BC=AB=5時(shí)，4+5=9，即C₅（0，9），4-5=-1，即C₆（0，-1）；
當(dāng)AC=BC時(shí)，C點(diǎn)與B點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，得C₇（0，-4）；
當(dāng)BC=AC時(shí)，即BC²=AC²，設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，b），
（b-4）²=3²+b²．
化簡(jiǎn)，得
-8b=-7．解得b=

7

8

，即C₈（0，

7

8

）．
C點(diǎn)共有8個(gè)，C點(diǎn)與原點(diǎn)的距離小于或等于5的點(diǎn)有C₂，C₃，C₄，C₆，C₇，C₈，即6個(gè)，
C點(diǎn)落在以原點(diǎn)為圓心，5為半徑的圓內(nèi)的概率是

6

8

=

3

4

，
故答案為：

3

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)的綜合題，分類討論是解題關(guān)鍵，還利用了概率的意義．