Question

在四邊形ABCD中，AC=AB，DC=DB，∠CAB=60°，∠CDB=120°，E是AC上一點(diǎn)，F(xiàn)是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且CE=BF．
（1）在圖1中，求證：DE=DF；
（2）在圖1中，若點(diǎn)G在AB上且∠EDG=60°，試猜想CE，EG，BG之間的數(shù)量關(guān)系并證明；
（3）運(yùn)用（1）、（2）解答中所積累的經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)，完成下題：如圖2，在四邊形ABCD中，∠ABC=90°，∠CAB=∠CAD=30°，點(diǎn)E在AB上，DE⊥AB，且∠DCE=60°，若AE=3，求BE的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理

專題：

分析：（1）根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)，可得∠C=∠DBA，根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)，可得DE與DF的關(guān)系；
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，可得DF=DE，∠CDE=∠BDF，再根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)，可得EG=FG=GB+BF；
（3）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，可得AM=AB，CM=BC，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，可得AD的長(zhǎng)，根據(jù)線段的和差，可得答案．

解答：（1）解：如圖1，連接AD，
在△ACD和△ABD中，

AC=AB CD=BD AD=AD

，
∴△ACD≌△ABD（SSS）
∴∠C=∠DBA．
又∵∠CAB=60°，∠CDB=120°，
∴∠C=∠DBA=∠DBF=90°．
在△DCE和△DBF中，

DC=DB ∠DCE=∠DBF CE=BF

，
∴△ECD≌△FBD（SAS）
∴DE=DF．
（2）由（1）知△ECD≌△FBD，
∴DF=DE，∠CDE=∠BDF．
又∵∠CDE+∠GDB=∠CDB-∠EDG=120°-60°=60°
∴∠EDG=∠FDG．
在△EGD和△FGD中，

ED=FD ∠EDG=∠FDG DG=DG

，
∴∴△EGD≌△FGD（SAS）
∴EG=FG=GB+BF，
∴EG=CE+BG；
（3）如圖2：

過(guò)C作CM⊥AD交AD的延長(zhǎng)線于M，
在△AMC和△ABC中，

∠AMC=∠ABC ∠DAC=∠BAC AC=AC

，
∴△AMC≌△ABC（AAS）
∴AM=AB，CM=BC，
由以上可知DM+BE=DE．
∵AE=3，∠AED=90°∠DAB=60°，
∴AD=6．
由勾股定理得：DE=3

3

∴DM=AB-6=BE+3-6=BE-3，
∴BE-3+BE=3

3

即BE=

3+3 3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，利用了全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)．