Question

在△ABC中，∠A=45°，∠B=75°，BC=2，將Rt△ABC繞點B旋轉(zhuǎn)至△BDE的位置，如圖所示，且使A、B、D在同一條直線上，請在圖中表示出AC邊掃過的圖形，并計算其面積．

Answer 1

考點：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),扇形面積的計算

專題：計算題

分析：作BG⊥AC于G，BH⊥DE于H，如圖，則點G為線段AB上離B點最近的點，再分別作出點A、點G、點C旋轉(zhuǎn)時的路徑，即對應的弧，由此得到AC邊掃過的圖形分兩部分：第一部分為線段AC、弧CM、線段ME和弧AE所圍長成的圖形；第二部分為線段GC、弧GH、線段HD和弧DC所圍成的圖形，再利用解直角三角形得到
AB=

6

，BG=

3

，AC=

3

+1，接著利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠EBD=∠ABC=75°，則∠CBM=30°，然后根據(jù)扇形面積公式和利用面積的和差分別計算兩部分的面積，再把它們相加即可．

解答：解：作BG⊥AC于G，BH⊥DE于H，如圖，
AC邊掃過的圖形分兩部分：第一部分為線段AC、弧CM、線段ME和弧AE所圍長成的圖形；第二部分為
線段GC、弧GH、線段HD和弧DC所圍成的圖形．
∵∠A=45°，∠B=75°，
∴∠ACB=60°，
在Rt△BCG中，CG=

1

2

BC=1，BG=

3

CG=

3

，
在Rt△ABG中，AG=BG=

3

，AB=

2

BG=

6

，
∴AC=AG+GC=

3

+1，
∵Rt△ABC繞點B旋轉(zhuǎn)至△EBD的位置，
∴∠EBD=∠ABC=75°，
∵A、B、D在同一條直線上，
∴∠CBM=180°-2×75°=30°，
線段AC、弧CM、線段ME和弧AE所圍長成的圖形的面積=S_扇形ABE-S_△ABC-S_扇形CBM
=

105•π•( 6 )2

360

-

1

2

•

3

•（

3

+1）-

30π•22

360

=

17

12

π-

3+ 3

2

，
線段GC、弧GH、線段HD和弧DC所圍成的圖形的面積=S_扇形CBD-S_扇形PBN
=

105•π•22

360

-

105•π•( 3 )2

360

=

7π

24

，
∴AC邊掃過的圖形的面積=

17

12

π-

3+ 3

2

+

7

24

π=

41

24

π-

3

2

-

3

2

．

點評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了扇形面積的計算．