Question

如圖，正方形ABCD中，P是BC中點，E、F是AB、CD邊上的點，BE=1，CF=2，EP⊥FP．
（1）求證：△PEB∽△FPC；
（2）求線段EF的長．

Answer 1

（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠B=∠C=90°，
∴∠BEP+∠BPE=90°，
∵EP⊥FP，
∴∠BPE+∠CPF=90°，
∴∠BEP=∠CPF，
∴△PEB∽△FPC；

（2）解：設(shè)BP=x，
∵P是BC中點，
∴CP=BP=x，
∵△PEB∽△FPC，
∴，
∵BE=1，CF=2，
∴，
解得：x=，
即BP=CP=，
在Rt△PBE中，PE==，
在Rt△PCF中，PF==，
∴在Rt△PEF中，EF==3．
分析：（1）由四邊形ABCD是正方形，可得∠B=∠C=90°，又由EP⊥FP，根據(jù)同角的余角相等，即可證得∠BEP=∠CPF，繼而可得△PEB∽△FPC；
（2）由△PEB∽△FPC，P是BC中點，BE=1，CF=2，利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即可求得BP與CP的長，然后由勾股定理求得PE與PF的長，繼而可求得線段EF的長．
點評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)以及勾股定理．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．