Question

15．如圖，點O是等邊三角形ABC內(nèi)一點，將△BOC繞點C順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到△ADC，連接OD，已知∠AOB=110°．
（1）求證：△DOC是等邊三角形；
（2）當α=180°時，試判斷△DOA的形狀，并說明理由；
（3）當α為多少度時，△DOA是等腰三角形．

Answer 1

分析 （1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知CO=CD，∠OCD=60°，可判斷：△COD是等邊三角形；
（2）由（1）可知∠COD=60°，當α=150°時，∠ADO=∠ADC-∠CDO，可判斷△AOD為直角三角形；
（3）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，分別假設(shè)AO=AD，OA=OD，OD=AD，從而求出α．

解答 （1）證明：∵將△BOC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得△ADC，
∴∠OCD=60°，CO=CD，
∴△OCD是等邊三角形；

（2）解：△AOD為直角三角形．
理由：∵△COD是等邊三角形．
∴∠ODC=60°，
∵將△BOC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得△ADC，
∴∠ADC=∠BOC=α，
∴∠ADC=∠BOC=150°，
∴∠ADO=∠ADC-∠CDO=150°-60°=90°，于是△AOD是直角三角形．

（3）解：①要使AO=AD，需∠AOD=∠ADO．
∵∠AOD=360°-∠AOB-∠COD-α=360°-110°-60°-α=190°-α，∠ADO=α-60°，
∴190°-α=α-60°
∴α=125°；

②要使OA=OD，需∠OAD=∠ADO．
∵∠AOD=190°-α，∠ADO=α-60°，
∴∠OAD=180°-（∠AOD+∠ADO）=50°，
∴α-60°=50°
∴α=110°；

③要使OD=AD，需∠OAD=∠AOD．
∵190°-α=50°
∴α=140°．
綜上所述：當α的度數(shù)為125°，或110°，或140°時，△AOD是等腰三角形．

點評 此題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定，以及等腰三角形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識，根據(jù)旋轉(zhuǎn)前后圖形不變是解決問題的關(guān)鍵．