Question

3．如圖，在直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)與x軸交于A（1，0）、C兩點(diǎn)（點(diǎn)C在點(diǎn)A的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)B，且拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1.5，3.125），以AB為直徑的⊙M經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O．
（1）求拋物線(xiàn)的解析式；
（2）連接BC，判定BC與⊙M的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（3）已知點(diǎn)P是拋物線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且在B、C兩點(diǎn)之間，問(wèn)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△PBC的面積最大？并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)和△PBC的最大面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)值相等的兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，可得C點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，可得∠1與∠3的關(guān)系，根據(jù)余角的性質(zhì)，可得∠1與∠2的關(guān)系，根據(jù)切線(xiàn)的判定，可得答案；
（3）根據(jù)平行于y軸的直線(xiàn)上兩點(diǎn)間的距離是較大的縱坐標(biāo)減較小的縱坐標(biāo)，可得PD的長(zhǎng)，根據(jù)面積的和差，可得二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案．

解答 解：（1）由拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1.5，3.125），得
對(duì)稱(chēng)軸為x=-$\frac{3}{2}$．
由A、C關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，得
C點(diǎn)坐標(biāo)是（-4，0）．
設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為y=ax²+bx+c，將A、B及頂點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{9}{4}a-\frac{3}{2}b+c=\frac{25}{8}}\\{16a-4b+c=0}\\{a+b+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=-\frac{3}{2}}\\{c=2}\end{array}\right.$，
拋物線(xiàn)的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x+2；
（2）BC與⊙M相切，理由如下：
如圖1：，
$\frac{OC}{OB}$=$\frac{4}{2}$=2，$\frac{OB}{OA}$=$\frac{2}{1}$=2，
∴$\frac{OC}{OB}$=$\frac{OB}{OA}$，
∵∠BOC=∠AOB=90°，
∴△OBC∽△OAB，
∴∠1=∠3．
∵∠2+∠3=90°，
∴∠1+∠2=90°．
∴BC⊥BA．
∵BC經(jīng)過(guò)半徑的外端，
∴BC與⊙M相切．
（3）如圖2：，
BC的解析式為y=$\frac{1}{2}$x+2，設(shè)D（m，$\frac{1}{2}$m+2），P在拋物線(xiàn)上，設(shè)P（m，-$\frac{1}{2}$m²-$\frac{3}{2}$m+2）．
PD的長(zhǎng)為-$\frac{1}{2}$m²-$\frac{3}{2}$m+2-（$\frac{1}{2}$m+2）=-$\frac{1}{2}$m²-2m=-$\frac{1}{2}$（m+2）²+2；
S_△PBC=S_△PDC+S_△PDB
=$\frac{1}{2}$PD•CE+$\frac{1}{2}$PD•OE
=$\frac{1}{2}$PD•OC
=$\frac{1}{2}$×|-4|×[-$\frac{1}{2}$（m+2）²+2]
當(dāng)m=-2時(shí)，S_△PBC最大=4，
當(dāng)m=-2時(shí)，-$\frac{1}{2}$m²-$\frac{3}{2}$m+2=3，即P（-2，3），
當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到（-2，3）時(shí)，S_△PBC最大=4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用函數(shù)值相等的兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)得出C點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵；利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出∠1與∠3的關(guān)系是解題關(guān)鍵，又利用了余角的性質(zhì)，切線(xiàn)的判定；利用三角形的面積的和差得出二次函數(shù)是解題關(guān)鍵．