Question

（2009•包頭）某商場(chǎng)試銷一種成本為每件60元的服裝，規(guī)定試銷期間銷售單價(jià)不低于成本單價(jià)，且獲利不得高于45%，經(jīng)試銷發(fā)現(xiàn)，銷售量y（件）與銷售單價(jià)x（元）符合一次函數(shù)y=kx+b，且x=65時(shí)，y=55；x=75時(shí)，y=45．
（1）求一次函數(shù)y=kx+b的表達(dá)式；
（2）若該商場(chǎng)獲得利潤(rùn)為W元，試寫出利潤(rùn)W與銷售單價(jià)x之間的關(guān)系式；銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，商場(chǎng)可獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是多少元？
（3）若該商場(chǎng)獲得利潤(rùn)不低于500元，試確定銷售單價(jià)x的范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）列出二元一次方程組解出k與b的值可求出一次函數(shù)的表達(dá)式．
（2）依題意求出W與x的函數(shù)表達(dá)式可推出當(dāng)x=87時(shí)商場(chǎng)可獲得最大利潤(rùn)．
（3）由w=500推出x²-180x+7700=0解出x的值即可．
解答：解：（1）根據(jù)題意得
解得k=-1，b=120．
所求一次函數(shù)的表達(dá)式為y=-x+120．（2分）

（2）W=（x-60）•（-x+120）
=-x²+180x-7200
=-（x-90）²+900，（4分）
∵拋物線的開口向下，
∴當(dāng)x＜90時(shí)，W隨x的增大而增大，
而銷售單價(jià)不低于成本單價(jià)，且獲利不得高于45%，
即60≤x≤60×（1+45%），
∴60≤x≤87，
∴當(dāng)x=87時(shí)，W=-（87-90）²+900=891．
∴當(dāng)銷售單價(jià)定為87元時(shí)，商場(chǎng)可獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是891元．（6分）

（3）由W≥500，得500≤-x²+180x-7200，
整理得，x²-180x+7700≤0，
而方程x²-180x+7700=0的解為 x₁=70，x₂=110．（7分）
即x₁=70，x₂=110時(shí)利潤(rùn)為500元，而函數(shù)y=-x²+180x-7200的開口向下，所以要使該商場(chǎng)獲得利潤(rùn)不低于500元，銷售單價(jià)應(yīng)在70元到110元之間，
而60元/件≤x≤87元/件，所以，銷售單價(jià)x的范圍是70元/件≤x≤87元/件．（10分）
點(diǎn)評(píng)：求二次函數(shù)的最大（小）值有三種方法，第一種可由圖象直接得出，第二種是配方法，第三種是公式法．利用二次函數(shù)解決實(shí)際問題．