19.閱讀下面問題:
$\frac{1}{1+\sqrt{2}}$=$\frac{1×(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}$=$\sqrt{2}$-1;
$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}$=$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$;
$\frac{1}{\sqrt{5}+2}$=$\frac{\sqrt{5}-2}{(\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2)}$=$\sqrt{5}$-2.
試求:
(1)$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$(n為正整數(shù))的值.
(2)利用上面所揭示的規(guī)律計算:$\frac{1}{1+\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{2014}+\sqrt{2015}}$+$\frac{1}{\sqrt{2015}+\sqrt{2016}}$.

分析 (1)根據(jù)平方差公式,可分母有理化;
(2)根據(jù)分母有理化,可出現(xiàn)互為相反數(shù)的項,根據(jù)合并同類二次根式,可得答案.

解答 解:(1)$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$=$\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})}$=$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$;
(2)$\frac{1}{1+\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{2014}+\sqrt{2015}}$+$\frac{1}{\sqrt{2015}+\sqrt{2016}}$
=$\sqrt{2}$-1+$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$+$\sqrt{4}$-$\sqrt{3}$+$\sqrt{5}$-$\sqrt{4}$+…+$\sqrt{2015}$-$\sqrt{2014}$+$\sqrt{2016}$-$\sqrt{2015}$
=$\sqrt{2016}$-1
=12$\sqrt{14}$-1.

點(diǎn)評 主要考查二次根式的有理化.根據(jù)二次根式的乘除法法則進(jìn)行二次根式有理化.二次根式有理化主要利用了平方差公式,所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特點(diǎn)的式子.即一項符號和絕對值相同,另一項符號相反絕對值相同.

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