Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為（-1，0）、（0，-

3

），點(diǎn)B在x軸上．已知某二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)，且它的對(duì)稱軸為直線x=1，點(diǎn)P為直線BC下方的二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P與B、C不重合），過(guò)點(diǎn)P作x軸的平行線交BC于點(diǎn)F．
（1）求該二次函數(shù)的解析式；
（2）求直線BC的解析式；
（3）若設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，用含m的代數(shù)式表示線段PF的長(zhǎng)；
（4）求△PBC面積的最大值，并求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）可以采用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，因?yàn)辄c(diǎn)A（-1，0）、C（0，-

3

）在函數(shù)圖象上，對(duì)稱軸為x=1，也可求得A的對(duì)稱點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），列方程組即可求得解析式；
（2）利用待定系數(shù)法求得直線BC的解析式即可；
（3）由（2）可求得點(diǎn)F的坐標(biāo)為（m，

3

3

m-

3

），再求得點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為

3

3

m²-

2 3

3

m-

3

，可得線段PF的長(zhǎng)；
（4）利用面積和，△PBC的面積S=S_△CPF+S_△BPF=

1

2

PF×BO，即可求出．

解答：解：（1）設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=ax²+bx+c（a≠0，a、b、c為常數(shù)），
由拋物線的對(duì)稱性知B點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），
依題意得：

a-b+c=0 9a+3b+c=0 c=- 3

，
解得：

a= 3 3 b=- 2 3 3 c=- 3

，
∴所求二次函數(shù)的解析式為y=

3

3

x²-

2 3

3

x-

3

；

（2）設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0，k、b是常數(shù)），
依題意，得

3k+b=0 b=- 3

，
∴解得：

k= 3 3 b=- 3

，
故直線BC的解析式為：y=

3

3

x-

3

；

（3）∵P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，
∴P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為：

3

3

m²-

2 3

3

m-

3

，
∵直線BC的解析式為：y=

3

3

x-

3

；
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（m，

3

3

m-

3

），
∴PF=-

3

3

m²+

3

m（0＜m＜3）；

（4）∵△PBC的面積為：
S=S_△CPF+S_△BPF
=

1

2

PF×BO=

1

2

×（-

3

3

m²+

3

m）×3
=-

3

2

（m-

3

2

）²+

9 3

8

，
∴當(dāng)m=

3

2

時(shí)，△PBC的最大面積為

9 3

8

，
把m=

3

2

代入y=

3

3

m²-

2 3

3

m-

3

，
得y=-

5 3

4

，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

3

2

，-

5 3

4

）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了二次函數(shù)綜合應(yīng)用，要注意數(shù)形結(jié)合，認(rèn)真分析，仔細(xì)識(shí)圖．注意待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，注意函數(shù)交點(diǎn)坐標(biāo)的求法，注意三角形面積的求法．