Question

在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OACB的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)A、B分別在x軸、y軸的正半軸上，OA=3，OB=4，D為邊OB的中點(diǎn)．
（1）求線段CD的長(zhǎng)；
（2）若E為邊OA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求△CDE周長(zhǎng)的最小值；
（3）若E、F為線段邊OA上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E在點(diǎn)F左邊），且EF=2，當(dāng)四邊形CDEF的周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)E、F的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）結(jié)合已知條件，根據(jù)勾股定理求出即可求出CD的長(zhǎng)度；
（2）根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短的性質(zhì)，CD的長(zhǎng)度一定，求的D點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)D′，CD′即為C點(diǎn)到D點(diǎn)的最小值，求△CDE周長(zhǎng)的最小值為CD′+CD；
（3）作點(diǎn)D關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)D′，連接D′G與x軸交于點(diǎn)E，在EA上截EF=2，在CB邊上截取CG=2，根據(jù)軸對(duì)稱-最短線路的有關(guān)知識(shí)，結(jié)合圖形和已知條件推出Rt△D′OE∽R(shí)t△D′BG，根據(jù)相似三角形邊得比例關(guān)系，很容易結(jié)合求的OE的長(zhǎng)度，繼而求的OF的長(zhǎng)度，很容易得出E點(diǎn)，F(xiàn)點(diǎn)的坐標(biāo)

解答：解：（1）∵矩形OACB，OA=3，OB=4，D為邊OB的中點(diǎn)，
∴BC=OA=3，BD=

1

2

OB=2，
∴CD=

22+32

=

13

；（3分）

（2）如圖，作點(diǎn)D關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)D′（0，-2），（4分）
連接CD′與x軸交于點(diǎn)E，連接DE，
∴DE+CE=CD′（最小值），
∵在矩形OACB中，OA=3，OB=4，D為OB的中點(diǎn)，
∴BC=3，D′O=DO=2，D′B=6，
∴D′C=

62+32

=3

5

，（6分）
∴△CDE周長(zhǎng)的最小值為：CD+DE+CE=CD+D′C=

13

+3

5

；（7分）

（3）如圖，作點(diǎn)D關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)D′，在CB邊上截取CG=2，
連接D′G與x軸交于點(diǎn)E，在EA上截EF=2，（8分）
∵GC∥EF，GC=EF，
∴四邊形GEFC為平行四邊形，有GE=CF，
又DC、EF的長(zhǎng)為定值，
∴此時(shí)得到的點(diǎn)E、F使四邊形CDEF的周長(zhǎng)最小，（9分）
∵OE∥BC，
∴Rt△D′OE∽R(shí)t△D′BG，有

OE

BG

=

D′O

D′B

，
∴OE=

D′O•BG

D′B

=

D′O•(BC-CG)

D′B

=

2×1

6

=

1

3

，（10分）
∴OF=OE+EF=

1

3

+2=

7

3

，（11分）
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（

1

3

，0），點(diǎn)F的坐標(biāo)為（

7

3

，0）．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、軸對(duì)稱-最短線路的有關(guān)知識(shí)．本題關(guān)鍵是通過(guò)勾股定理求出各邊的長(zhǎng)度，根據(jù)軸對(duì)稱-最短線路的有關(guān)知識(shí)找到E點(diǎn)、D′點(diǎn)的位置．