Question

（2000•綿陽(yáng)）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4a，E是CD邊的中點(diǎn)，F(xiàn)在BC邊上移動(dòng)．問(wèn)當(dāng)F移到什么位置時(shí)，AE平分∠FAD？請(qǐng)證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】分析：①證到∠AEF=90°后，也可過(guò)E作EG⊥AF于G，通過(guò)證明Rt△ADE≌Rt△AGE也可．
②連接EF后，通過(guò)分別計(jì)算出Rt△ADE和△AEF的邊，考查三邊對(duì)應(yīng)成比例而得到△ADE∽△AEF也可．
③計(jì)算AE²=20a²，EF²=5a²，AF²=25a²，由勾股定理逆定理知△AEF為Rt△，再由tan∠EAF=tan∠EAD=，
∠EAF和∠EAD都是銳角，∠FAE=∠EAD．
解答：解：當(dāng)點(diǎn)F移動(dòng)到距點(diǎn)C為a（即CF=a）時(shí)，AE平分∠FAD．（2分）
證明：連接EF，則在Rt△ADE與Rt△ECF中，
由已知可得AE=2a，EF=a．
，，
∴，
∴Rt△ADE∽R(shí)t△ECF．（4分）
于是∠AED=∠EFC，從而可得∠AEF=90°．（5分）
∴，
∴Rt△ADE∽R(shí)t△AEF，（6分）
故∠DAE=∠EAF．（7分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理及其逆定理等知識(shí)點(diǎn)．